Razón promedio de cambio durante [a, b]: Cociente de las diferencias
Dada una función $f$, la
razón promedio de cambio de $f(x)$ durante el intervalo $[a, b]$ es
Razón promedio de cambio | $\displaystyle = \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. |
| $=$ Pendiente de la recta por los puntos $P$ y $Q$ (ve el gráfico interactivo). |
La razón promedio de cambio se le llama también el
cociente de las diferencias de $f$ durante el intervalo $[a, b]$.
Formulación Alternativa: Razón promedio de cambio durante [a, a+h]
(Reemplazar $b$ por $a+h$): La razón promedio de cambio de $f(x)$ durante el intervalo $[a,a+h]$ es
Razón promedio de cambio $\displaystyle = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Unidades
Las unidades de la razón promedio de cambio son unidades de $f$ por unidad de $x$.
Calculadoras de razón promedio de cambio
Usa las prácticas utilidades a continuación para calcular la razón promedio de cambio de cualquier función que ingresas.
Ejemplos: Razón promedio de cambio durante [a, b]: Cociente de las diferencias
Sea $f(x) = 2x^2-4x+1$. Entonces la razón promedio de $f$ durante el intervalo $[2,4]$ es
$\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ | $\displaystyle = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ |
| $\displaystyle = \frac{17 - 1}{2} = 8$. |
Interpretación: Si, por ejemplo, $x$ representa el año desde enero de 2013, y $f(x)$ representa el ingreso acumulado de tu empresa (en millones de dólares) desde ese tiempo, entonces las unidades de medida de la razón promedio de cambio son
millones de dólares por año. Por lo tanto, tu empresa ganó un ingreso anual promedio de &D&8 millones por año durante el período enero 2015 ( $t = 2$) a enero 2017 ($t = 4$).
Sea $f(x) = x^2-x$. Entonces la razón promedio de $f$ durante el intervalo $[3, 3+h]$ es
$\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ | $\displaystyle = \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$ |
| $\displaystyle = \frac{[(3+h)^2 - (3+h)] - [3^2 - 3]}{h}$ |
| $\displaystyle = \frac{9 + 6h + h^2 - 3 - h - 9 + 3}{h}$ |
| $\displaystyle = \frac{6h + h^2 - h}{h} = \frac{h(6 + h - 1)}{h}$ |
| $\displaystyle = 6 + h - 1$ |
|
Práctica:
Práctica:
Razón instantánea de cambio en x = a: Derivada
Dada una función $f$, pensamos en la
razón instantánea de cambio de $f(x)$ en $x=a$ como la razón promedio de cambio medida durante un intervalo muy pequeño $[a, a+h]$. Más precisamente, se define como el límite de las razones promedio del cambio en los intervalos $[a, a+h]$ cuando $h$ tiende a 0.
Razón instantánea de cambio | $\displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. |
La razón instantánea de cambio se le llama también la
derivada de $f$ en $a$ y se le escribe como $f'(a)$ (se lee "$f$ prima de $a$"). Sus unidades de medida son unidades de $f(x)$ por unidad de $x$. Por lo tanto,
$\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Notas
- $f'(a)$ = Razón instantánea de cambio de $f$ en el punto $a$. Por lo tanto,
$f'(x)$ = Razón instantánea de cambio de $f$ en el punto $x$.
De esta manera, la derivada $f'(x)$ es una función de $x$, pues puede cambiar su valor con $x$.
- Ya que $f'(a)$ es un límite, hay la posibilidad que no exista. Es decir, las cantidades $[f(a+h) - f(a)]/h$ pueden acercarse a un número fijo o no cuando $h$ tiende a cero. Si todo vaya bien y existe el límite, decimos que $f$ es diferenciable en $a$. Si no, decimos que $f$ no es diferenciable en $a$.
- Para hablar de $f'(a)$, requerimos que $a$ sea un punto interior del dominio de $f$; es decir, requerimos que se defina $f(x)$ para todos los $x$ en algún intervalo abierto alrededor de $x = a$. Por lo tanto, por ejemplo, no hablamos de $f'(a)$ si $a$ es un punto extremo del dominio de $f$.
Ejemplo: Razón instantánea de cambio en x = a: Derivada
Sea $f(x) = 2x^2-4x+1$. Puedes usar la calculadora (azul) anterior de razones de cambio promedio para verificar que, para valores muy pequeños de $h$, $\frac{f(2+h) - f(2)}{h} \approx 4$. Por lo tanto, la razón instantánea de cambio de $f$ en $x = 2$ es
(Veremos cómo hacer cálculos como este a continuación).
Interpretación
Si, por ejemplo, $f(x)$ se representa los beneficios de tu empresa (en millones de dólares) y $x$ se representa el año desde enero 2015, entonces las unidades de medida de la razón instantánea de cambio son las mismas que las de la razón promedio:
millones de dólares por año. De esta manera, los beneficios de tu empresa crecían a una tasa de 4 millones de dólares por año a principios de 2017 ($t = 2$).
Enfoque numérico
Para calcular numéricamente un valor aproximado de $f'(a)$ (para un valor especifico de $a$) se puede usar:
- Una tabla de valores
- Una "aproximación rápida"
El primer método demuestra aproximaciones cada vez más mejor, a veces permitiéndole la oportunidad adivinar el valor exacto, y el segundo método da un solo cálculo aproximado.
Usando una tabla
En una tabla, calcula una secuencia de valores de los cocientes de las diferencias
$\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$
con valores de $h$ cada vez más pequeño y decide a cual número tienden los valores. (Mire el ejemplo a continuación.)
Aproximación rápida: Cociente de diferencias delantero
Usa un solo valor pequeño para $h$ como $h = .0001$, y calcula el cociente de las diferencias
$\dfrac{f(x+0.0001) - f(x)}{0.0001} \qquad$
Cuanta más pequeño $h$, más exacto la aproximación. (Mire el ejemplo a continuación.)
Aproximación rápida: Cociente de diferencias balanceado
Con frecuencia la siguiente formula alternativa produce un resultado más exacto:
$\dfrac{f(x+0.0001) - f(x-0.0001)}{0.0002} \qquad$
Cuanta más pequeño $h$, más exacto la aproximación. (Mire el ejemplo a continuación.)
Calculadoras de aproximaciones rápidas
Ingresa una función, introduce el punto $a$, ajusta $h$ si quieres, y presión "Calcular".
Ejemplos: Enfoque numérico
Para continuar con el ejemplo $f(x) = 2x^2-4x+1$. calculamos un valor aproximado de $f'(2)$.
Usando una tabla
El cociente de las diferencias (con $a = 2$ es
$\dfrac{\color{blue}{f(2+h)} - \color{indianred}{f(2)}}{h} = \dfrac{\color{blue}{2(2+h)^2-4(2+h)+1} - \color{indianred}{2(2)^2-4(2)+1}}{h}$
La siguiente tabla demuestra el valor de este cociente de las diferencias con diversos valores de $h$ que se tienden a cero.
h | 1 | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
Difference Quotient | 6 | 4.2 | 4.02 | 4.002 |
A medida que $h$ se disminuye, vemos que el valor se acerca más y más a 4, por lo que concluimos
Usando un cociente de diferencias delantero
Usamos la misma fórmula arriba, pero con $h = 0.0001:$
$\dfrac{\color{blue}{f(2+0.0001)} - \color{indianred}{f(2)}}{0.0001} = \dfrac{\color{blue}{f(2.0001)} - \color{indianred}{f(2)}}{0.0001}$ |
$\qquad = \dfrac{\color{blue}{2(2.0001)^2-4(2.0001)+1} - \color{indianred}{2(2)^2-4(2)+1}}{h}$ |
$\qquad = 4.0002.$ |
(Se pudiera haber usado la utilidad roja más arriba para hacer esta cálculo.)
Observa que el cociente de diferencias delantero no se da el valor exacto (4), pero en el caso de funciones cuadráticas como esta, el cociente balanceado de las diferencias da siempre el valor exacto:
Usando un cociente de diferencias balandeado
Esta vez, usamos la fórmula para el cociente balanceado de las diferencias con $h = 0.0001:$
$\dfrac{\color{blue}{f(2+0.0001)} - \color{indianred}{f(2-0.0001)}}{0.0002} = \dfrac{\color{blue}{f(2.0001)} - \color{indianred}{f(1.9999)}}{0.0002}$ |
$\qquad = \dfrac{\color{blue}{2(2.0001)^2-4(2.0001)+1} - \color{indianred}{2(1.9999)^2-4(1.9999)+1}}{h}$ |
$\qquad = 4.$ |
(Se pudiera haber usado la utilidad azul más arriba para hacer esta cálculo.)
Práctica:
Práctica:
Velocidad
Para un objeto que se mueve en línea recta con posición $s(t)$ en el momento $t$, la
velocidad promedio entre el momento $t$ y el momento $t+h$ es la razón promedio de cambio de la posición $s(t)$ respecto al tiempo y, por lo tanto, se da por la cociente de las diferencias:
$\displaystyle v_{\text{promedio}} = \frac{s(t+h) - s(t)}{h}$.
La
velocidad instantánea en el momento $t$ es la razón instantánea de cambio de la posición $s(t)$ respecto al tiempo y, por lo tanto, se da por la derivada $s'(t)$:
$\displaystyle v(t) = s'(t) = \lim_{h \to 0}\frac{s(t+h) - s(t)}{h}$.
Ejemplo: Velocidad
Práctica:
Enfoque geométrico
Vimos anteriormente que la razón promedio de cambio de la función $f$ durante el intervalo $[a,a+h]$ es la pendiente de la recta secante $PQ$ que se muestra en la siguiente gráfica:
Como la derivada $f'(a)$ se obtiene al tomar el límite cuando $h \to 0$, puedes visualizar lo que sucede en la gráfica presionando el botón "Disminuir |h|": El punto $Q$ se mueve cada vez más cerca del punto $P$, con el resultado de que la recta secante comienza a parecerse a la
recta tangente en el punto $P$. Por lo tanto, geométricamente,
la derivada $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto donde $x = a$.Pendiente de la recta secante $\displaystyle = m_{\text{sec}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
Pendiente de la recta tangente | $\displaystyle = m_{\text{tan}} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$
Ejemplos: Enfoque geométrico
Sea $f(x) = 2x^2-4x+1$.
Pendiente de la recta secante por los puntos correspondientes a $x = 2$ y $x = 3$ |
| = Razón prmedio de cambio de $f$ durante $[2, 3]$
= $6$ (Verifica en la calculadora (azul) anterior de razones de cambio promedio.) |
Pendiente de la recta tangente por el punto correspondiente a $x = 2$ |
| = Razón instantáneo de cambio de $f$ en $x = 2$
= $4$ (Verifica en la calculadora (azul) anterior de razones de cambio promedio.) |
Aquí es la gráfica que demuestra las dos rectas:
Acercandose:
Enfoque algebráico
Para calcular la derivada de una función algebraicamente, se avanza como sigue:
- Se escribe la definición de la derivada,
$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
- Se sustituya $f(x)$ y $f(x+h)$.
Puedes usar un valor especifico en lugar de $x$ si se pide, por ejemplo, calcular $f'(3)$, o, en cambio, puedes dejarlo como $x$ si se pide calcular la función derivada $f'(x)$.
- Se simplifica el numerador para sacar $h$ como factor común. Después, se cancela la $h$ y se toma el límite para llegar a la respuesta.
A veces, se debe que hacer más que solo simplificar el numerador para calcular el límite...
Ejemplos: Enfoque algebráico
Regresando a nuestro primer ejemplo, $f(x) = 2x^2-4x+1$, vamos a calcular ahora $f'(x)$ algebraicamente siguiendo los pasos anteriores.
$\displaystyle f'(x)$ | $\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\frac{\color{red}{f(x+h)} - \color{blue}{f(x)}}{h}$ |
| $\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\frac{\color{red}{2(x+h)^2-4(x+h)+1} - \color{blue}{(2x^2-4x+1)}}{h}$ |
| $\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\frac{2x^2+4xh+2h^2-4x-4h+1-2x^2+4x-1}{h}$ |
| $\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\frac{4xh+2h^2-4h}{h}$ |
| $\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\frac{h(4x+2h-4)}{h}$ |
| $\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}(4x+2h-4)$ |
| $\displaystyle {}= 4x-4$ |
Por lo tanto, $f'(x) = 4x-4$.
Práctica:
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