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Matemáticas finitas y cálculo aplicado resumen del tema:
Funciones y aplicaciones: Parte 1 de 2
Herramientas:


Funciones y dominios

Una función real $f$ de una variable real es una regla que asigna a cada número real $x$ en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de $f,$ un número real úniquo $f(x),$ que se lee '$f$ de $x.$'

La cantidad $x$ se llama el argumento de $f$ y a $f(x)$ se llama el valor de $f$ en $x.$

Una función se puede especificar
    numéricamente por medio de una tabla,
    graphically por medio de una gráfica
    algebraically por medio de una fórmula,
y también en otras maneras.

Nota sobre los dominios

El dominio de una función no es siempre explícitamente especificada; cuando no se especifica algún dominio para una función $f,$ supondremos que el dominio es el conjunto más grande de los números $x$ para los cuales tiene sentido $f(x).$ Esta 'dominio más grande posible' se le llama a veces el dominio natural.

Utilidades

Evaluador y gráficador de funciones: Evaluar y dibujar funciones.
Gráficador Excel: Descargar una hoja Excel® que traza gráficas.
Ejemplos: Funciones y dominios

A function specified numéricamente:


A function specified gráficamente:


Una función especificada álgebraicamente:

 

Intervalos

El intervalo cerrado $[a,b]$ #[is the set of all real numbers $x$ with $a \leq x \leq b.$

The open interval $(a,b)$ is the set of all real numbers $x$ with $a \lt x \lt b.$

The interval $(a,+\infty)$ is the set of all real numbers $x$ with $a \lt x \lt +\infty.$

The interval $(-\infty,b)$ is the set of all real numbers $x$ with $-\infty \lt x \lt b.$

We also have half open intervals of the form][es el conjunto de todos números reales $x$ tal que $a \leq x \leq b.$

El intervalo abierto $(a,b)$ es el conjunto de todos números reales $x$ tal que $a \lt x \lt b.$

El intervalo $(a,+\infty)$ es el conjunto de todos números reales $x$ tal que $a \lt x \lt +\infty.$

El intervalo $(-\infty,b)$ es el conjunto de todos números reales $x$ tal que $-\infty \lt x \lt b.$

Tenemos también intervalos medios abiertos de la forma]# $[a, b)$ y $(a, b].$
Ejemplo: Intervalos

 

Gráfica de una función

La gráfica de una función $f$ es el conjunto de todos los puntos de la forma $(a, f(a))$ en el plano-$xy,$ tal que restringimos los valores de $a$ al estar en el dominio de $f.$

La siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:
Prueba de la recta vertical

Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto.
Ejemplos: Gráfica de una función

Dibujar una gráfica: Para dibujar la gráfica de
    $f(x)=2x^2-3x+1 \qquad$ Forma de función
con dominio $[0,+\infty),$ reemplazamos $f(x)$ por $y,$ obteniendo la ecuación
    $y=2x^2-3x+1 \qquad \quad \ $ Forma de ecuación
Entonces obtenemos la gráfica por trazar puntos, donde restringimos a $x$ al estar en $[0,+\infty),$ y obtenemos el siguiente dibujo:


Emparejar funciones con sus gráficas

 

Funciones definidas a trozos

A veces se necesita usar dos o más formulas para especificar una sola función algebraicamente. Una función definida a trozos es una función cuya definición algebráica cambia dependiendo del valor del argumento.

Por ejemplo, una función definida a trozos con tres fórmulas podría verse como sigue:
en cual caso su gráfica tendría la siguiente forma:
$y=p(x)$$y=q(x)$$y=r(x)$
Ejemplo: Funciones definidas a trozos

 

Notación función y ecuación

A veces, en lugar de escribir, por ejemplo,
$f(x) = 5x^2-4x+1$Notación función
podemos escribir
$y = 5x^2-4x+1$Notación ecuación
o tal vez
$f = 5x^2-4x+1.$Podemos utilizar cualquier letra.

En una ecuación de la forma $y=$ Expresión en $x$, llamamos al argumento $x$ la variable independiente, y a $y$ la variable dependiente (porque el valor de $y$ depende de una elección de un valor para $x.$
Ejemplo: Notación función y ecuación

Podemos pensar en la ecuación $C = -55x^2 - 8x$ en dos maneras:
    1. Como una ecuación con variable independiente $x$ y variable dependiente $C.$

    2. Como especificar una función: $C(x) = -55x^2 - 8x$
por lo que a veces decimos que '$C$ es una función de $x$.'

 

Modelos matemáticos

Modelar matemáticamente una situación significa representarlo en términos matemáticos. La representación particular utilizado se llama un modelo matemático de la situación.

Tipos de modelos

Modelos analíticos se obtienen a través por analizar la situación que se modela,

Modelos de ajuste de curvas se obtienen por utilizar fórmulas matemáticas que aproximan los datos observados.
Ejemplos: Modelos matemáticos

Modelos analíticos:

la temepratura en marte es ahora −80°F y creciendo por 20°F por hora.
    Modelo: $T(t) = -80 + 20t $ ($t$ = tiempo en horas, $T$ = temperatura)



Modelo de ajuste de curvas:

 

Modelos costo, ingreso y utilidad

Una función costo especifica el costo $C$ como una función del número de artículos $x.$ En consecuencia, $C(x)$ es el costo de $x$ artículos, y tiene la forma
    Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de $x$ y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma
    $C(x) = mx + b$
se llama una función costo lineal; el costo variable es $mx$ y el cost fijo es $b.$ La pendiente $m,$ el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Una función ingreso $R$ especifica el ingreso $R(x)$ que resulta de la venta de $x$ artículos. Si el precio se fije en \$$k$ por artículo, entonces
    Ingreso = Precio × cantidad
    $R(x) = kx.$

Una función utilidad $P$ especifica la utilidad (ingreso neto) $P(x)$ que resulta de la venta de $x$ artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula
    $P(x) = R(x)-C(x)$

Equilibrio se ocurre cuando
    $P(x) = 0$
o, equivalentemente, cuando
    $R(x)=C(x)$
Ejemplo: Modelos costo, ingreso y utilidad

 

Modelos demanda y oferta

Una función (de) demanda expresa la demanda $q$ (el número de artículos solicitados) como una función del precio unidad $p$ (el precio por artículo). Una función de oferta expresa la oferta $q$ (el número de articulos un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad $p$ (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.

La demanda son en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de $p$ y $q$ se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario $p$ donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a $p$). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio.

a demanda son en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de $p$ y $q$ se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario $p$ donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a $p$). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio.
Ejemplos: Modelos demanda y oferta

Si la demanda para las Botas Wellington de Ludington es $q = -4.5p + 4,000$ pares vendidos por semana y la oferta es $q = 50p - 1,995$ pares por semana (vea la gráfica más abajo), entonces se obtiene el precio de equilibrio cuando la demanda = la oferta:
    $-4.5p+4,000 = 50p-1,995$
    $54.5p = 5,995$
que se da $p = 5995/54.5 = \$110.$Sigue que el precio equilibrio es \$110 y la demanda de equilibrio es $q = -4.5(110) + 4,000 = 3505$ pares por semana. Lo que ocurre a precios distintos del precio de equilibrio se puede ver en la figura siguiente:



  • Cuando el precio es debajo del precio de equilibrio, es mayor la demanda que la oferta, y se resulta una escasez.
  • Cuando el precio es igual al precio de equilibrio, no hay escasez ni excedente, y decimos que el mercado es liquido o está despejado.
  • Cuando el precio es arriba del precio de equilibrio, es mayor la oferta que la demanda, y se resulta una excedente.


Calcular el precio de equilibrio