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Matemáticas finitas y cálculo aplicado resumen del tema:
Funciones y aplicaciones: Parte 2 de 2
Herramientas:


Funciones lineales

Una función lineal es una función de la forma
    $f(x) = mx + b$Forma de función
    $y = mx + b$Forma de ecuación
donde $m$ y $b$ son números fijos (los nombres "$m$" y "$b$" son tradicionales).

Papel de m
    Numéricamente:
  • Un cambio de 1 unidad en $x$ resulta en un cambio de $m$ unidades en $y.$
  • Un cambio de 2 unidades en $x$ resulta en un cambio de $m \times 2$ unidades en $y.$
  • ...
  • En general, un cambio de $\Delta x$ unidades en $x$ resulta en un cambio de $\Delta y = m\Delta x$ unidades en $y,$ por lo que
      $m = \frac{\text{Cambio en }y}{\text{Cambio en }x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

    Gráficamente:
  • $m =$ Pendiente $=\frac{\text{Subida}}{\text{Recorrido}} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Papel de b
    Numéricamente:
  • Cuando $x = 0,\ \ y = b$ (Forma ecuación), o $f(0) = b.$ (Forma función)
  • Gráficamente:
  • $b =$ intersección en $y$

$\color{blue}{b}$
Por estas razones, la ecuación $y = mx + b$ se llama fecuentemente la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta.
Ejemplos: Funciones lineales

La función
    $f(x) = 3x - 1$
tiene la forma ecuación
    $y = 3x - 1.\qquad $ Pendiente = m = 3, intersección-y = b = −1.
Por lo tanto, la recta cruza el eje-$y$ en $b = -1,$ e $y$ aumenta por 3 unidades para cada 1-unidad cambio en $x.$

Gráfica:


Práctica:


Convertiendo en la forma pendiente-intercección $y = mx + b$

Se puede resolver las siguientes ecuaciones para $y$ como funciones lineales de $x:$
    $3x - y + 4 = 0$ $\color{indianred}{y=3x+4}$
    $4y = 0$ $\color{indianred}{y=0}$
    $3x + 4y = 5$ $\color{indianred}{y=-\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}}$

 

Cómo trazar la gráfica de una función lineal

Hay dos métodos buenos para trazar la gráfica de una función lineal:
  1. Escriba la función en la forma $y = mx+b$, y entonces traza la recta con intersección en $y$ igual a $b$ y pendiente igual a $m$.
  2. Calcula las intersecciones en $x$ e $y$, y luego traza la recta que pasa por aquellos dos puntos. Para calcular la intersección en $x$ de una recta, establece $y = 0$ en la ecuación y despeja a $x$. Para calcular la intersección en $y$, establece $x = 0$, y despeja a $y$. Este método sirva solo cuando la recta no pasa por el origen, en cual caso tendrás que trazar un punto adicional o utilizar el primero método.
Ejemplo: Cómo trazar la gráfica de una función lineal

Aquí son estas técnicas aplicadas a la recta con ecuación $2x - 3y = -6$
  1. Despejando a $y$, obtenemos $y = \frac{2x}{3} + 2$. Entonces, el pendiente es $\frac{2}{3}$ y la intersección en $y$ es 2. La siguiente figura muestra dos pasos para trazar la gráfica:
  2. Para obtener la intersección en $x$, establece $y = 0$. La ecuación se convierte en
      $2x - 3(0) = -6$,
      dando $x = -3$.
    Esta es la intersección en $x$. Para obtener la intersección en $y$, establece $x = 0$, para obtener
      $2(0) - 3y = -6$,
      dando $y = 2$.
    La siguiente figura muestra dos pasos para trazar la gráfica.

 

Determinar una ecuación lineal a partir de datos: Cómo hacer un modelo lineal

Punto y pendiente

Una ecuación de la recta que pasa por el punto $(x_1, y_1)$ con pendiente $m$ se da por
    $y = mx + b$
donde
    $b = y_1 - mx_1$.
Cuándo utilizar este método

  1. Puedes utilizar este método siempre que sabes la pendiente y las coordenadas de un punto en la recta. La fórmula no se aplica si la pendiente es indefinida.
  2. Si ya sabes la pendiente $m$ y la intersección $b$ en $y$, entonces puedes simplemente escribir la función lineal directamente como
    • $y = mx + b$
    por solo susituir los valores de $m$ y $b$.
Rectas horizontales y verticales

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por $(x_1, y_1)$ es
    $y = y_1$
Una ecuación de la recta vertical que pasa por $(x_1, y_1)$ es
    $x = x_1$
Ejemplos: Determinar una ecuación lineal a partir de datos: Cómo hacer un modelo lineal

Una ecuación de la recta que pasa por el punto $(1, 2)$ con pendiente $-5$ se da por
    $y = -5x + b$
donde
    $b = y_1 - mx_1 = 2 - (-5)(1) = 7$.
así que
    $y = -5x + 7.$


Una ecuación de la recta horizontal que pasa por $((-3,4))$ es
    $y = 4$


Una ecuación de la recta vertical que pasa por $(-3,4)$ es
    $x = -3$


Práctica:

 

Interpretación de la pendiente en aplicaciones

La pendiente de la recta $y = mx + b$ es la razón (o tasa) a la que $y$ está cambiando por cada cambio de 1-unidad en $x$. Las unidades de medida de la pendiente son unidades de $y$ por unidad de $x$.

Si $y$ es desplazamiento (posición a lo largo de una recta) y $x$ es el tiempo, entonces la pendiente representa la velocidad. Sus unidades son unidades de medida de desplazamiento por unidad de tiempo (por ejemplo, metros por segundo).

Si $y$ es costo y $x$ es el número de artículos comprados, entonces la pendiente representa el costo marginal. Sus unidades son unidades de costo por artículo (por ejemplo, dólares por artículo).

Ejemplo: Interpretación de la pendiente en aplicaciones

El número de páginas web en este sitio se da por la ecuación
    $n = 1.2t + 200,$
donde $t$ es el tiempo en semanas desde 1 de junio 1997. La pendiente es
    $m = 1.2$ páginas por semana.
Por lo tanto, interpretamos la pendiente como sigue:
    El nómero de páginas está creciendo a una razón de 1.2 páginas por semana.

 

Regresión: Residuos y error de la suma de cuadrados

La regresión lineal es un método para hallar la ecuación lineal que mejor se acerce un conjunto de puntos de datos.

Valores observados y pronosticados

Supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos $(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$. Las $n$ cantidades $y_1, y_2, ..., y_n$ se llaman los valores observados de $y$.

Si aproximamos los datos por la ecuación lineal $\hat{y} = mx + b$, entonces los valores pronosticados son
    $\hat{y}_1 = m(x_1) + b$,
    $\hat{y}_1 = m(x_2) + b$,
    ...,
    $\hat{y}_n = m(x_n) + b.$

Residuos y suma de cuadrados del error

Si modelamos un conjunto de puntos de datos $(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$ con una ecuación lineal como más arriba, entonces los residuos son los $n$ cantidades (Valor observado − valor pronosticado):

    $(y_1 - \hat{y}_1), \ (y_2 - \hat{y}_2), \ \dots (y_n - \hat{y}_n)$
= Residuo
La suma de cuadrados del error (SCE) es la suma de cuadrados de los residuos:

    SCE $= (y_1 - \hat{y}_1)^2 + (y_2 - \hat{y}_2)^2 + \cdots + (y_n - \hat{y}_n)^2$
Ejemplo: Regresión: Residuos y error de la suma de cuadrados

Valores observados y pronosticados

 

Regresión: Determinar la recta regresión

La recta regresión (recta de mínimos cuadrados, recta de mejor ajuste) asociada con $(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$ es la recta que se minimiza el valor de SCE.

La recta regresión se da por

    $y = mx + b$,
donde
    $m = \frac{n\left(\sum xy\right) - \left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n\left(\sum x^2\right) - \left(\sum x\right)^2},$
    $b = \frac{\left(\sum y\right) - m\left(\sum x\right)}{n}$.
Aquí, $\sum $ significa "la suma de." Así, por ejemplo,
    $\sum x =$ Suma de los valores-$x$ $= (x_1 + x_2 + \dots + x_n)$
    $\sum xy =$ Suma de los productos $xy$ $= (x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_ny_n)$
    $\sum x^2 =$ Suma de los cuadrados de los valores-$x$ $= (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)$
Por otro lado,
    $\left(\sum x\right)^2 =$ Cuadrado de $\sum x = $ Cuadrado de la suma de los valores-$x.$
Finalmente,
    $n =$ Número de puntos de datos.
Ejemplo: Regresión: Determinar la recta regresión