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Matemáticas finitas y cálculo aplicado resumen del tema:
Matemáticas financieras: Parte 2 de 2
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Anualidades

Una cuenta anualidad o simplemente anualidad es una cuenta ganando intereses en la que haces depósitos periódicos o de la que haces retiros periódicos. El término anualidad por sí mismo a veces también se refiere a la secuencia de los depósitos o retiros.

El tiempo durante el cual estás haciendo depósitos en una cuenta anualidad es la fase de acumulación, durante el cual el valor de la cuenta se aumenta.

El tiempo durante el cual estás haciendo retiros de una cuenta anualidad es la fase de anualización o la fase de desembolso, durante el cual el valor de la cuenta se disminuya.
Ejemplos: Anualidades

Un fondo de pensiones que gana intereses es un ejemplo de una cuenta de anualidad. Su fase de acumulación es el periodo durante el cual haces depósitos en el fondo, y la fase de desembolso es el periodo durante el cual haces retiros del fondo, (por ejemplo, una vez que jubiles).


Cuando una empresa o un gobierno acumula dinero en una anualidad para algún objetivo o obligación futura, la cuenta se conoce como un fondo de amortización.


Un préstamo de auto o una casa es un ejemplo de una anualidad durante el fase de anualización o desembolso: El prestamista "deposita" la cantidad del préstamo con el prestatario y hace "retiros" periódicas (los pagos del préstamo) hasta que el saldo es cero.

 

Acumulación: Valor futuro

Si haces un pago de $PAG$ a fin de cada periodo en una cuenta con una tasa de interés de $i$ por periodo, entonces, después de $n$ periodos, el valor futuro será

    $VF = PAG\frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}.$     
    Pagos de PAG para n periodos a una tasa de interés de i por periodo.
Ejemplos: Acumulación: Valor futuro

Para hallar el valor futuro a finales de 10 años de un fondo que gana 3% por año compuesto mensualmente en lo que haces pagos de \$500 por mes, utiliza
    $PAG = 500, \ \ i = \frac{0.03}{12} = 0.0025,\ $ $n = 10 \times 12 = 120,$
por lo que
$VF$$=PAG\frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}$
$= 500\frac{(1 + 0.0025)^{120} - 1}{0.0025} \approx \$69,870.71$


Práctica:

 

Anualización: Valor presente

Si recibes un pago de $PAG$ a fin de cada periodo de una cuenta con una tasa de interés de $i$ por periodo, por lo que la cuenta se reduce a cero $n$ periodos a partir de ahora, el valor presente debe ser

    $VP = PAG\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}.$
Ejemplos: Anualización: Valor presente

Deseas establecer un fondo fiduciario de la que tu sobrina puede retirar \$10,000 cada seis meses durante 15 años. El fideicomiso se invertirá al 7% anual compuesto semestralmente. ¿Qué tan grande debe ser el fideicomiso?

Respuesta:
    $PAG = 10\,000, \ \ i = \frac{0.05}{2} = 0.025,\ $ $n = 15 \times 2 = 30,$
por lo que el fideicomiso debe valer al menos
$VP$$=PAG\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$
$=10\,000\frac{1 - (1 + 0.025)^{-30}}{0.025} \approx \$209,302.93$


Práctica:

 

Amortización: hipotecas y préstamos a plazos

En un préstamo a plazos o de hipoteca de una casa típica, tomamos prestada una cantidad de dinero y luego devolvemos el dinero con intereses al hacer pagos fijos durante cierto número de años. El proceso de pagar un préstamo se llama amortizar el préstamo, lo que significa matar a la deuda contraída.

Desde el punto de vista del prestamista, esta situación es una anualidad anualizante: el prestamista invierte el d inero contigo y "retire" pagos mensuales hasta que la balancia es cero. Por lo tanto, los cálculos de préstamos son idénticos a los cálculos de anualidades, por lo que podemos utilizar la fórmula

    $VP = PAG\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i},$
en la que $VP$ es el importe del préstamo.
Ejemplos: Amortización: hipotecas y préstamos a plazos

Marco y Joaquín están comprando una casa y han pedido una hipotecas de \$180,000 a 15 años al 8.4% interés por año. ¿Cuáles serán sus pagos mensuales?

Respuesta:
    $VP = 180\,000, \ \ i = \frac{0.084}{12} = 0.007,\ $ $n = 15 \times 12 = 360,$
    $VP = PAG\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$
$180\,000$$=PAG\frac{1 - (1 + 0.007)^{-360}}{0.007}$
$=PAG\frac{1 - 1.007^{-360}}{0.007}$
Por lo tanto, los pagos menusales sería
    $PAG = \frac{180\,000 \times 0.007}{1 - 1.007^{-360}} \approx \$1\,371.31.$


Práctica:

 

Utilidad valor del dinero en el tiempo