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Matemáticas finitas y cálculo aplicado resumen del tema:
Funciones y modelos no lineales: Parte 1 de 2
Herramientas:


Funciones cuadráticas y sus gráficas

Una función cuadrática es una función de la forma
    $f(x)=ax^2+bx+c \qquad (a \neq 0)$.
Su gráfica se llama una parábola. El vértice de este parábola se ocurre al punto de la gráfica con coordenada $x$ dado por
    $x = -\frac{b}{2a} \qquad $ Vértice
Cruza el eje $y$ (intersección en $y$) en
    $y = c \qquad $ Intersección en y
Cruza el eje $x$ (intersección en $x$) en la(s) soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c = 0$ (si hay soluciones) dodo por
    $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \qquad $ Interseccion(es) en x
Es simétrica respecto a la recta vertical por el vértice.

Si es positivo el coeficiente $a$ de $x^2$, es cóncava hacia arriba (como en la figura debajo cuando pulsas "$a > 0$"). Si es negativo el coeficiente $a$, es cóncava hacia abajo (como en la figura debajo cuando pulsas "$a < 0$").

 
   
Ejemplos: Funciones cuadráticas y sus gráficas

Función cuadrática La función


Parábola La curva
    $y=x^2-2x-8$
es una parábola con el vértice en
    $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1.$
La coordenada-$y$ del vértice es
    $y = (1)^2 - 2(1) - 8 = -9.$
La intersección en $y$ es $c = -8$ y los intersecciones en $x$ son las soluciones de
    $x^2 - 2x - 8 = 0$
    $(x+2)(x-4) = 0$,
por lo que $x = -2$ y $4$. su gráfica se muestra aquí:


Práctica:

 

Leyes de los exponentes

Si $b$ y $c$ son positivas, y si $x$, $y$ son números reales cualesquiera, se cumplen las siguientes leyes:
Ley
Ejemplo
$b^xb^y=b^{x+y}$$2^3 2^2=2^5 = 32$
$\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}$$\frac{4^3}{4^2}=4^{1} = 4$
$\frac{1}{b^x}=b^{-x}$$9^{-0.5}=\frac{1}{9^{0.5}} = \frac{1}{3}$
$b^0 = 1$$3.1415^0 = 1$
$(b^x)^y = b^{xy}$$(2^3)^2 = 2^6 = 64$
$(bc)^x = b^xc^x$$(4 \cdot 2)^2 = 4^22^2 = 64$
$\left(\frac{b}{c}\right)^x = \frac{b^x}{c^x}$$\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$
Ejemplo: Leyes de los exponentes

Práctica:

 

Funciones exponenciales

Una función exponencial es una función de la forma
    $f(x) = Ab^x$,
en la que $A$ y $b$ son constantes y $b \gt 0$.

Al número $b$ se llama la base de la función exponencial.

Papel de b
  • Un aumento de 1 unidad en $x$ tiene el efecto de multiplicar $f(x)$ by $b$.
  • Un aumento de 2 unidades en $x$ tiene el efecto de multiplicar $f(x)$ by $b^2$.
  • ...
  • En general, un aumento de $\Delta x$ unidades en $x$ tiene el efecto de multiplicar $f(x)$ by $b^{\Delta x}$.

Papel de A
  • $f(0) = A$, por lo que $A$ es la intersección en $y$ de la gráfica de $f$.
Ejemplos: Funciones exponenciales

La función $f(x) = 3(2^x)$ es una función exponencial con $A = 3$ y $b = 2$. Algunas valores de $f$ se muestra en la siguiente tabla:
Su gráfica es la siguiente:


Práctica:


 

Interés compuesto

Si se invierte una cantidad $P$ (el valor actual) durante $t$ años a una tasa anual de interés $r$, compuesto $m$ veces por año, el valor acumulado (valor futuro) de la inversión después de $t$ años es
    $F(t) = P\left\[1+\frac{r}{m}\right\]^{mt}$.
Esta es una función exponencial de $t$ de la forma $F(t) = Ab^t$ ya que puede ser escrita como
    $F(t) = P\left(\left\[1+\frac{r}{m}\right\]^{m}\right)^t \qquad$ $A = P, \quad b = \left\[1+\frac{r}{m}\right\]^{m}$
Ejemplos: Interés compuesto

Inviertes \$1000 a una tasa de interés anual de 4.8%, compuesto mensualmente. Esto significa que
    $P = 1\,000, \quad r = 0.048, \quad m = 12.$
Sustituyendo nos da
    $F(t)$ $= 1\,000\left(1+\frac{0.048}{12}\right)^{12t}$
    $= 1\,000(1.004)^{12y}$
Esta función da el valor del inversión después de $t$ años. Por ejemplo, después de 5 años, la inversión vale
    $F(5) = 10\,000(1.004)^{12 \times 5} = 10\,000(1.004)^{60} = $\$12,706.41.


 

El número e

Los números
    $\left(1+\frac{1}{m}\right)^m$.
convergen al número e = 2.71828182845904523536... a medida que $m$ se hace más y más grande. La siguiente tabla muestra el valor de $\left(1+\frac{1}{m}\right)^m$ para algunos valores de $m$.
Ejemplo: El número e

Ingresa tu propia valor de $m$ y pulsa "Calcular". (Observarás que valores más grande de alrededor 100,000,000 par $m$ causarán errores computacionales --- ¡Experimenta!))
$m = $
$\left(1+\frac{1}{m}\right)^m = $

 

Interés compuesto continuamente

El número $e$ aparece en la fórmula para interés compuesto continuamente: Si se invierte una cantidad $P$ (el valor actual) durante $t$ años a una tasa anual de interés $r$, compuesto continuamente, el valor acumulado (valor futuro) de la inversión después de $t$ años es
    $F(t) = Pe^{rt}$.
La tasa de interés efectiva (anual) del compuesto continuo se da por
    $r_e = e^r - 1$.
Ejemplos: Interés compuesto continuamente

Si se invierte \$10,000 a una tasa de interés anual del 4.8% compuesto en continuamente, la cantidad acumulad después de $t$ años será
    $A = 10\,000e^{0.048t}$
La tasa de interés efectiva anual es
    $r_e = e^{0.048} - 1 \approx 0.04917$,
es decir 4.917% al año.


 

Logaritmos

La declaración:
    $\log_bx = y$         El logaritmo de x base b es igual a y
significa
    $b^y = x.$
Nota:
  • $\log_{10}x$ a menudo se escribe como $\log x$, y se llama el logaritmo común de $x.$
  • a menudo se escribe como $\ln x$, y se llama el logaritmo natural o logaritmo neperiano de $x.$
Ejemplos: Logaritmos

La siguiente tabla presenta algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logarítmicas equivalentes:


Práctica:

 

Identidades de los logaritmos

Las siguientes identidades son válidas para todas las bases positivas $b \neq 1$ y todos los números positivos $x, y.$ :
Identidad
Ejemplo
$\log_b(xy) = \log_bx + \log_by$$\log_2 16 = \log_2 8 + \log_2 2$
$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_bx - \log_by$$\log_3\left(\frac{5}{4}\right) = \log_3 5 - \log_3 4$
$\log_b(x^r) = r\log_bx$$\log_4(6^5) = 5\log_4 6$
$\log_bb = 1$
$\log_b 1 = 0$
$\log_2 2 = 1$
$\log_3 1 = 0$
$\log_b\left(\frac{1}{x}\right) = -\log_b x$$\log_5\left(\frac{1}{4}\right) = -\log_5 4$
$\log_bx = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}$$\log_25 = \frac{\log 5}{\log 2} \approx 2.3219$
Ejemplo: Identidades de los logaritmos

Práctica: