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#[Resources][Recursos]#
#[In the
tutorial on average rates of change we saw that the average rate of change of $f$ gives the slope of the secant line through two points on its graph][En
el tutorial sobre razones promedio de cambio aprendimos que la razón promedio de cambio de $f$ nos da la pendiente de la recta secante que pasa por dos puntos en su gráfica]#:
#[Slope of secant line through $P$ and $Q$][Pendiente de la recta secante por $P$ y $Q$]# $= m_{\text{sec}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
#[As $h$ approaches zero, we learned in %2 that this quantity approaches the instantaneous rate of change or
derivative of $f(x)$ at $x = a$ $a,$ which we called $f'(a).$ Let us now see what happens to the graph as $h$ approaches zero: As $h$ decreases in magnitude, the quantity $a+h$ (on the $x$-axis) moves closer and closer to $a,$ and so the point $Q$ moves closer and closer to $P.$ Try it in the interactive graph below:][A medida que $h$ se acerca a cero, aprendimos en %2 que esta cantidad se acerca a la razón instantánea o la
derivada de $f(x)$ en $x = a,$ a la que llamamos $f'(a).$ Vamos a ver que sucede en la gráfica a medida que $h$ se acerca a cero: A medida que se disminuya la magnitud de $h,$ la cantidad $a+h$ (en el eje-$x$) se acerca más y más a $a,$ y entonces el punto $Q$ se acerca más y más a $P.$ Pruebalo en el gráfico interactivo a continuación:]#
#[See what happens to the secant line? It becomes more and more like the tangent line and so, in the limit as $h$ approaches 0, it
becomes the tangent line, with a slope of $1.65.$][¿Ves; que sucede con la recta secante? Se aproxima más y más la recta tangente y así, en el limite a medida que $h$ se acerca a 0, se
convierte en la recta tangente con una pendiente de $1.65.$]#
#[We are led to the following conclusion, which is perhaps the most important in calculus:][Nos lleva a la siguiente conclusión, a lo mejor la más importante en todo el cálculo: ]#
#[The slope of the tangent line to the graph of the function $f$ at the point on the graph where $x = a$ is given by the derivative $f'(a)$ (the derivative of $f$ at $a$).][La pendiente de la recta tangente en el punto de la gráfica de $f$ donde $x = a$ se determina por $f'(a)$ (la derivada de $f$ en $a$).]#
#[Or, more simply,][O, más sencillamente, ]#
#[The derivative at $x = a$ is the slope of the tangent at $x = a.$][La derivada en $x = a$ es la pendiente de la tangente en $x = a.$]#
#[Here is a summary of these concepts][A continuación un resumen de estos conceptos]#:
#[Slope of the secant line and tangent line][Pendiente de la recta secante y la recta tangente]#
The slope of the secant line through $(a, f(a))$ and $(a+h, f(a+h))$ is the same as the average rate of change of $f$ over the interval $[a, a+h],$ or the difference quotient:
La pendiente de la recta secante por $(a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ es igual a la razón promedio de cambio de $f$ sobre el intervalo $[a, a+h],$ o el cociente de las diferencias:
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$m_{\text{sec}}$
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$=$ #[Average rate of change][Razón promedio de cambio]#
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$= \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ |
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The slope of the tangent line through $(a, f(a))$ is the same as the instantaneous rate of change of $f$ at $x=a,$ or the derivative:
La pendiente de la recta tangente por $(a, f(a))$ es igual a la razón instantánea de cambio de $f$ en $x=a,$ o la derivada:
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$m_{\text{tan}}$
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$=$ #[Instantaneous rate of change][Razón instantánea de cambio]#
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$= \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ |
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#[On the following graph you will see the graph of a function $f$ and three straight lines of different colors:][En la siguiente gráfica, se vea la curva de una función $f$ y tres rectas de colores distintos:]#
#[We now revisit a question from %2,except this time we look at it geometrically][Ahora volvamos a una pregunta del %2, excepto que esta vez lo miramos geométricamente]#:
#[The cost to manufacture $x$ dumbbell sets per day at the
Taft Sports Factory is calculated to be][El costo de fabricar $x$ conjuntos de mancuernas a la
Fábrica de Deporte Taft se calcula a ser]#
$C(x) = %15$ #[dollars][dólares]#.
%Let $a = %16$ %and $h = %17.$
#[Zooming in to the tangent line][Hacer un zoom a la recta tangente]#
#[We can also visualize the slope of the tangent graphically as follows: Start with any smooth curve, and then zoom in closer and closer until the curve looks like a straight line. This straight line is the tangent line, and its slope is the derivative.][También podemos visualizar la pendiente de la tangente gráficamente como sigue: Comienza con cualquier curva suave, y luego hacer un zoom más y más hasta que la curva se ve como una línea recta. Esta recta es la tangente, y su pendiente es la derivada.]#
#[Notice how the curve appears to "flatten" as we zoom in; the zoomed-in curve appears indistinguishable from the tangent line.][Observa como aparece "allanar" la curva cuando nos acercamos; en la vista de cerca la curva es indistinguible de la recta tangente.]#
#[On the following graph you will see the graph of a function $f$ and various tangent lines:][En la siguiente gráfica, se vea la curva de una función $f$ y varias rectas tangentes:]#
#[Use the graph to estimate each of the following, accurate to the nearest whole number.][Utiliza la gráfica para estimar cada uno de los siguientes, exacto al número entero más cercano.]#
Now try the exercises in %4, some the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.
Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
Last Updated: October, 2015
Copyright © 2015
Última actualización: octubre 2015
Derechos de autor © 2015