#[Take me back to the even older exponents tutorial!][Regresame al tutorial aún más viejo sobre exponentes!]#
#[Radicals][Radicales]#
#[If $a$ is any nonnegative real number, then its square root is the nonnegative number whose square is $a.$ For example, the square root of $16$ is $\color{red}{4},$ since $\color{red}{4^{\color{black}{2}}} = 16.$][Si $a$ es un número real, entonces su raíz cuadrada es el número real y no negativo cuyo cuadrado es $a.$ Por ejemplo, la raíz cuadrada de $16$ es $\color{red}{4},$ pues $\color{red}{4^{\color{black}{2}}} = 16.$]#
%Q
#[What about $-4$? If you square $-4$ you also get $16,$ so is it true that $-4$ is another square root of $16$? ][Y qué tal de $-4$? Si tomas el cuadrado de $-4$ resulta también $16,$ así que ¿podemos decir que $-4$ es una otra raíz cuadrada de $16$?]#
%A #[No. The term "square root of $a$" refers only to the nonnegative number whose square is $a$, so each number has only a single square root.][No. El término "raíz cuadrada de $a$" se refiere solamente al número no negativo cuyo cuadrado es $a$, así que cada número tiene una sola raíz cuadrada.]#
#[Similarly, the fourth root of the nonnegative number $a$ is the nonnegative number whose fourth power is $a.$ Thus, the fourth root of $16$ is $\color{red}{2},$ since $\color{red}{2^{\color{black}{4}}} = 16.$ (As with square roots, the fourth root of a number cannot be negative.)We can similarly define sixth roots, eighth root, and so on.][De modo parecido, la raíz cuarta del número no negativo $a$ es el número real no negativo cuya cuarta potencia es $a.$ Por lo tanto, la raíz cuarta de $16$ es $\color{red}{2},$ pues $\color{red}{2^{\color{black}{4}}} = 16.$ (Como sucede con raíses cuadradas, la raíz cuarta de un número no puede ser negativo.)Se puede definir raíces sexta, octava, y así sucesivamente.]#
%A #[No. The term "square root of $a$" refers only to the nonnegative number whose square is $a$, so each number has only a single square root.][No. El término "raíz cuadrada de $a$" se refiere solamente al número no negativo cuyo cuadrado es $a$, así que cada número tiene una sola raíz cuadrada.]#
%Q
#[What about odd-numbered roots?][Muy bien, ¿Y quí tal las raíces impares?]#
%A #[ There is a slight difference with odd-numbered roots: For example, the cube root of any number $a$ is the number whose cube is $a.$ For example, the cube root of $8$ is $\color{red}{2},$ (as $\color{red}{2^{\color{black}{3}}} = 8$).Note that we can take the cube root of any number, positive, negative or zero. For instance, the cube root of $-8$ is $\color{red}{-2},$ as $(\color{red}{-2})^2 = -8$. Unlike square roots, the cube root of a number may be negative. In fact, the cube root of $a$ always has the same sign as $a.$ The other odd-numbered roots are defined in the same way.][Hay una diferencia pequeñña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de cualquier número $a$ es el número único cuyo cubo es $a.$ Por ejemplo, la raíz cúbica de $8$ es $\color{red}{2},$ (pues $\color{red}{2^{\color{black}{3}}} = 8$).Nota que se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de $-8$ es $\color{red}{-2},$ pues $(\color{red}{-2})^2 = -8$. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. De hecho, la raíz cúbica de $a$ tiene siempre el mismo signo que $a.$ Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida.]#
#[We use "radical" notation to designate roots, as shown below: ][Usamos la notación "radical" para escribir raíces, como sigue:]#
%A #[ There is a slight difference with odd-numbered roots: For example, the cube root of any number $a$ is the number whose cube is $a.$ For example, the cube root of $8$ is $\color{red}{2},$ (as $\color{red}{2^{\color{black}{3}}} = 8$).Note that we can take the cube root of any number, positive, negative or zero. For instance, the cube root of $-8$ is $\color{red}{-2},$ as $(\color{red}{-2})^2 = -8$. Unlike square roots, the cube root of a number may be negative. In fact, the cube root of $a$ always has the same sign as $a.$ The other odd-numbered roots are defined in the same way.][Hay una diferencia pequeñña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de cualquier número $a$ es el número único cuyo cubo es $a.$ Por ejemplo, la raíz cúbica de $8$ es $\color{red}{2},$ (pues $\color{red}{2^{\color{black}{3}}} = 8$).Nota que se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de $-8$ es $\color{red}{-2},$ pues $(\color{red}{-2})^2 = -8$. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. De hecho, la raíz cúbica de $a$ tiene siempre el mismo signo que $a.$ Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida.]#
#[Radicals][Radicales]#
#[Name][Nombre]# | #[Notation][Notación]# | %Examples | |
#[Square root of $a$][Raíz cuadrada de $a$]# | $\sqrt{a}$ | $\sqrt{16}=4$ | #[The square root of $16$ is $4.$][La raíz cuadrada de $16$ es $4.$]# |
$\sqrt{9}=3$ | #[To get $9,$ you square $\color{red}{3.}$][Para obtener $9,$ elevas al cuadrado $\color{red}{3.}$]# | ||
$\sqrt{1}=1$ | #[To get $1,$ you square $\color{red}{1.}$][Para obtener $1,$ elevas al cuadrado $\color{red}{1.}$]# | ||
$\sqrt{0}=0$ | #[To get $0,$ you square $\color{red}{0.}$][Para obtener $0,$ elevas al cuadrado $\color{red}{0.}$]# | ||
$\sqrt{2 \cdot 2}=2$ | #[To get $2 \cdot 2,$ you square $\color{red}{2.}$][Para obtener $2 \cdot 2,$ elevas al cuadrado $\color{red}{2.}$]# | ||
$\sqrt{3 \cdot 3}=3$ | #[To get $3 \cdot 3,$ you square $\color{red}{3.}$][Para obtener $3 \cdot 3,$ elevas al cuadrado $\color{red}{3.}$]# | ||
$\sqrt{2}\sqrt{2}=2$ | #[If you square the number whose square is 2, you get 2.][Si elevas al cuadrado el número cuyo cuadrado es 2, obtienes 2.]# | ||
$\sqrt{a}\sqrt{a}=a$ | #[If you square the number whose square is a, you get a.][Si elevas al cuadrado el número cuyo cuadrado es a, obtienes a.]# | ||
$\sqrt{2}=1.41421356237\dots$ |
#[An irrational number.][Un númreo irracional.]#
#[We normally don't write it as a decimal.][Normalmente no la escribimos como un decimal.]# |
||
$\sqrt{-1}$ #[is not a real number.][no es un número real.]# | #[$-1$ is negative.][$-1$ es negativo.]# | ||
#[Cube root of $a$][Raíz cúbica de $a$]# | $\sqrt[3]{a}$ | $\sqrt[3]{8}=2$ | #[The cube root of $8$ is $2.$][La raíz cúbica de $8$ es $2.$]# |
$\sqrt[3]{-8}=-2$ | #[To get $-8,$ you cube $\color{red}{-2.}$][Para obtener $-8,$ elevas al cubo $\color{red}{-2.}$]# | ||
$\sqrt[3]{1}=1$ | #[To get $1,$ you cube $\color{red}{1.}$][Para obtener $1,$ elevas al cubo $\color{red}{1.}$]# | ||
$\sqrt[3]{-1}=-1$ | #[To get $-1,$ you cube $\color{red}{-1.}$][Para obtener $-1,$ elevas al cubo $\color{red}{-1.}$]# | ||
$\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{a}=a$ | #[If you cube the number whose cube is a, you get a.][Si elevas al cubo el número cuyo cubo es a, obtienes a.]# | ||
#[Fourth root of $a$][Raíz cuarta de $a$]# | $\sqrt[4]{a}$ | $\sqrt[4]{10\,000}=10$ | #[To get $10\,000,$ you raise $\color{red}{10}$ to the fourth power.][Para obtener $10\,000,$ elevas al cuarto $\color{red}{10.}$]# |
$\sqrt[4]{-3}$ #[is not a real number.][no es un número real.]# | #[$-3$ is negative.][$-3$ es negativo.]# |
#[Radicals of products and quotients][Radicales de productos y cocientes]#
#[In the above quiz we saw that the squre root of a sum is not the sum of the individual square roots. However, the square root of a product is the product of the individual square roots, and the same applied to quotients. Here are the rules:][Vimos en el cuncurso arriba que la raíz cuadrada de una suma no es igual a la suma de las raizes cuadradas individuales. Sin embargo, la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las raizes cuadradas individuales, y lo mismo aplica para cocientes. Las siguientes son las reglas:]#
#[Radicals of Products and Quotients][Radicales de productos y cocientes]#
#[In the following identities, $a$ and $b$ stand for any real numbers. In the case of even-numbered roots, they must be nonnegative.][En las siguientes identidades, $a$ y $b$ son números reales. En el caso de raíces pares, deben ser no negativos.]#
#[Rule][Regla]# \t \t %Example
\\ $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\ \sqrt[n]{b}$ \t $\qquad \qquad$ \t $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4}\ \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
\\ \t \t #[Equivalently,][De manera equivalente,]#
\\ \t \t $\sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2 \cdot 2}\ \sqrt{2} = \sqrt{2}\ \sqrt{2} \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
\t #[Note that][Observa que]#$\sqrt{2}\ \sqrt{2} = 2.$
\\ \t \t $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9}\ \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$
\\ \t \t #[Equivalently,][De manera equivalente,]#
\\ \t \t $\sqrt{54} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 3}\ \sqrt{6} = \sqrt{3}\ \sqrt{3}\ \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$
\\ $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ \t $\quad$ \t $\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}} = \dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{2}{3}$
#[Again, the rule does not apply to sums or differences:][Otra vez, esta regla no se aplica a sumas y restas:]#
$\sqrt{2+2} \neq \sqrt{2} + \sqrt{2}$ #[but rather][sino más bien]# $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2.$
\\ $\sqrt{9-5} \neq 3 - \sqrt{5}$ #[but rather][sino más bien]# $\sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2.$
#[Exponential notation][Notación exponencial]#
#[Rather than working all the time with radical expressions, we can convert all radical notation to exponential notation, as follows. (Throughout, we take $a$ to be positive if the denominator in the exponent is even.) ][En vez de trabajar todo el tiempo con expresiones radicales, es a veces útil convertir expresiones racionales en expresiones exponenciales, como sigue. (A lo largo, toma $a$ a ser positiva si es par el denominador de su exponente.) ]#
#[Raional exponents][Exponentes racionales]#
#[We can use rational exponents for expressions involving radicals as follows:][Se puede usar exponentes racionales para expresiones radicales como sigue:]#
#[Radical form][Forma radical]# \t \t #[Exponent form][Forma exponente]# \t \t %Example
\\ $\sqrt{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/2} \quad (\text{or } a^{0.5})$ \t $\quad$ \t $64^{1/2} = \sqrt{64} = 8$
\\ $\sqrt[3]{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/3}$ \t $\quad$ \t $64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4$
\\ $\sqrt[n]{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/n}$ \t $\quad$ \t $64^{1/6} = \sqrt[6]{64} = 2$
#[So, if we want the exponent identities to continue to work with rational exponents, we can calculate $a^{m/n}$ in two ways:][Así, si deseamos que sigan funcionar las identidades del exponentes, podemos calcular $a^{m/n}$ en dos maneras:]#
\t $a^{m/n} = a^{(m)(1/n)} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}$\t $\qquad$ \t #[(See the third line above.)][(Ve la tercera línea arriba.)]#
\\ #[or][o]# $\quad$
\\ \t $a^{m/n} = a^{(1/n)(m)} = (a^{1/n})^{m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$
%Examples
$4^{3/2} = (4^3)^{1/2} = 64^{1/2} = 8$
\\ $4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$
#[In each of the following, fill in the missing quantity and press "Check". The final answer in each case should be as simplified as possible.][En cada una de las siguientes, rellena la cantidad faltante y otras cantidades y pulsa "Verificar". La respuesta final en cada caso debe ser simplificada lo más posible.]#
|
||
%Q
#[Do all the usual identities for exponents work with fractional exponents?][¿Se aplican las identidades de exponentes como de costumbre aún cuando los exponentes son racionales?]#
%A #[Yes. Here is a summary of these rules—exactly the same as those we saw in the previous topic—but this time we understand that the exponents can be rational numbers (rather than integers as in the last tutorial): ][Sí. Aquí está un resumen de estas identidades—exactamente las mismas que vimos en el tutorial anterior—pero esta vez entendemos que los exponentes pueden ser números racionales (en lugar de números enteros como en el tutorial anterior): ]#
%A #[Yes. Here is a summary of these rules—exactly the same as those we saw in the previous topic—but this time we understand that the exponents can be rational numbers (rather than integers as in the last tutorial): ][Sí. Aquí está un resumen de estas identidades—exactamente las mismas que vimos en el tutorial anterior—pero esta vez entendemos que los exponentes pueden ser números racionales (en lugar de números enteros como en el tutorial anterior): ]#
#[Exponent identities][Identidades del exponentes]#
#[Rule][Regla]# | %Examples | #[Comments][Comentarios]# |
1. $a^pa^q = a^{p+q}$ | $8^{5/3}8^{-1/3}=8^{4/3}$ | #[This is equal to][Esto es igual a]# $\left(\sqrt[3]{8}\right)^4=2^4=16$ |
2. $\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$ (%if $a \neq 0$) |
$\dfrac{9^3}{9^{3/2}} = 9^{3-3/2} = 9^{3/2}$ | #[This is equal to][Esto es igual a]# $\left(\sqrt{9}\right)^3=3^3=27$ |
3. $\dfrac{1}{a^q} = a^{-q}$ (%if $a \neq 0$) |
$9^{-1/2} = \dfrac{1}{9^{1/2}} = \dfrac{1}{3}$ | #[Put $p=0$ in Rule 2 to obtain Rule 3.][Mete $p=0$ en la Regla 2 para obtener la Regla 3.]# |
4. $(a^p)^q = a^{pq}\ $ | $(16^{1/2})^2 = 16^{1/2 \times 2} = 16^{1} = 16$ | #[This example tells us why $16^{1/2}$ has to be 4: Squaring it must give 16.][Este ejemplo nos dice por qué $16^{1/2}$ tiene que ser de 4: Elevar al cuadrado debe dar 16.]# |
5. $(ab)^p = a^pb^p$ | $16^{2/3} = (8 \cdot 2)^{2/3} = 8^{2/3} \cdot 2^{2/3}$ | #[This is equal to][Esto es igual a]# $\sqrt[3]{8^2}\ \ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{64}\ \ \sqrt[3]{4} = 4\ \sqrt[3]{4}.$ |
6. $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ | $\sqrt{8}=\sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ |
#[We already know this rule: The radical a product is the product of the radicals.][Ya sabemos esta regla: La radical de un producto es el producto de las radicales]#
#[Put $p=\dfrac{1}{n}$ in Rule 5 to obtain Rule 6.][Mete $p=\dfrac{1}{n}$ en la Regla 5 para obtener la Regla 6.]# |
7. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^p = \dfrac{a^p}{b^p}$ (%if $b \neq 0$) |
$\left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3} = \dfrac{27^{2/3}}{8^{2/3}}$ | #[This is equal to][Esto es igual a]# $\dfrac{9}{4}.$ |
8. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (%if $b \neq 0$) |
$\sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
#[We already know this rule: The radical a quotient is the quotient of the radicals.][Ya sabemos esta regla: La radical de un cociente es el cociente de las radicales]#
#[Put $p=\dfrac{1}{n}$ in Rule 7 to obtain Rule 8.][Mete $p=\dfrac{1}{n}$ en la Regla 7 para obtener la Regla 8.]# |
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$4x^{-2/3} = \dfrac{4}{x^{2/3}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2}.$
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