#[One-step calculations][Cálculos de un solo paso]#
#[One of the most important mathematical tools for multiplying algebraic expressions is the distributive law for real numbers:][Una de las herramientas matemáticas más importantes para multiplicar expresiones algebraicas es la ley distributiva para los números reales:]#
#[Distributive Law for Real Numbers][Ley distributiva para los números reales]#
#[If $a,$ $b,$ and $c$ are any real numbers, then:][Si $a, b,$ y $c$ son cualquieras números reales, entonces:]#
#[Law][Ley]# | #[Name][Nombre]# | %Examples |
$a(b \pm c) = ab \pm ac$ | #[Left distributive law][Ley distributiva izquierda]# |
|
$(a \pm b)c = ac \pm bc$ | #[Right distributive law][Ley distributiva derecha]# |
|
* #[We can justify the use of the distributive law with three (or more) summands in the parentheses by arguing as follows:][
Podemos justificar el uso de la ley distributiva con tres (o más) sumandos en los paréntesis como sigue:]#
$a(b+c+d)$ \t = $a(b+[c+d])$ \t #[Think of $b+c+d$ as ][Piensa en $b+c+d$ como]# $b+[c+d].$
\\ \t = $ab+a[c+d]$ \t #[Distributive law for two summands][Ley distributiva para tres sumandos]#
\\ \t = $ab+ac+ac$ \t #[Distributive law for two summands again][Ley distributiva para tres sumandos otra vez]#
#[Multi-step calculations][Cálculos de múltiples pasos]#
#[If what we are distributing is itself a sum or difference, then it is necessary to use the distributive law more than once:][Si lo que estamos distribuyendo es en sí una suma o diferencia, entonces es necesario utilizar la ley distributiva más de una vez:]#
%Examples
\t !r! $\color{crimson}{(2x+1)}(3x-2)$ \t $=$ \t $\color{crimson}{(2x+1)}(3x)\ \ + \ \ \color{crimson}{(2x+1)}(-2)$ \gap[40] \t #[Distribute the ][Distribuya la]# $\color{crimson}{(2x+1)}$
\\ \t \t $=$ \t $6x^2 + 3x \ \ - \ 4x - 2$ \t #[Apply the distributive law to each summand.][Aplica la ley distributiva a cada sumando.]#
\\ \t \t $=$ \t $6x^2 - x - 2$ \t #[Simplify (combine the $3x$ and $-4x$).][Simplifica (combina la $3x$ y la $-4x$).]#
\\
\\ \t !r! $\color{crimson}{(1 - y)}(1 + y - y^2)$ \t $=$ \t $\color{crimson}{(1 - y)}(1)\ \ + \ \ \color{crimson}{(1 - y)}(y)\ \ - \ \ \color{crimson}{(1 - y)}(y^2)$ \gap[40] \t #[Distribute the ][Distribuya la]# $\color{crimson}{(1 - y)}$
\\ \t \t $=$ \t $1 - y\ \ + \ \ y - y^2\ \ - \ \ (y^2 - y)$ \t #[Apply the distributive law to each summand.][Aplica la ley distributiva a cada sumando.]#
\\ \t \t $=$ \t $1 - y \ \ + \ \ y - y^2\ \ - \ \ y^2 + y$ \t #[Distribute the minus sign.][Distribuya el signo menos.]#
\\ \t \t $=$ \t $1 + y - 2y^2$ \t #[Simplify.][Simplifica.]#
#[FOIL method][Método PEXINUL]#
#[There is quicker way of expanding expressions such as the first and second one above, called the "FOIL" method.][Hay una forma más rápido para desarrollar expresiones como la primera y segunda de arriba, llamada el método "PEXINUL".]#
#[FOIL][PEXINUL]#
#[The FOIL method is used to expand products of the form][Se utiliz el método PEXINUL desarrollar productos de la forma]#
#[F][P]# \t \gap[20] \t #[First][Primeros]# \t \gap[20] \t #[Multiply the first terms.][Multiplica los términos primeros]# \t \gap[20] \t $\color{#aaaaaa}{(\bold{\color{#c1026f}{a}} + b)(\bold{\color{#c1026f}{c}} + d)}$ \t \gap[20] \t $\color{#c1026f}{a \times c = ac}$
\\ #[O][EX]# \t \gap[20] \t #[Outer][EXternos]# \t \gap[20] \t #[Multiply the outer terms.][Multiplica los términos externos]# \t \gap[20] \t $\color{#aaaaaa}{(\bold{\color{#0ea05e}{a}} + b)(c + \bold{\color{#0ea05e}{d}})}$ \t \gap[20] \t $\color{#0ea05e}{a \times d = ad}$
\\ #[I][IN]# \t \gap[20] \t #[Inner][INternos]# \t \gap[20] \t #[Multiply the inner terms.][Multiplica los términos internos]# \t \gap[20] \t $\color{#aaaaaa}{(a + \bold{\color{#026fc1}{b}})(\bold{\color{#026fc1}{c}} + d)}$ \t \gap[20] \t $\color{#026fc1}{b \times c = bc}$
\\ #[L][UL]# \t \gap[20] \t #[Last][ÚLtimos]# \t \gap[20] \t #[Multiply the last terms.][Multiplica los términos últimos]# \t \gap[20] \t $\color{#aaaaaa}{(a + \bold{\color{#de6c00}{b}})(c + \bold{\color{#de6c00}{d}})}$ \t \gap[20] \t $\color{#de6c00}{b \times d = bd}$
#[Then add them all up][A continuación, súmalos:]#
-
$(a + b)(c + d)$
- %Result: $(a+b)(c+d) = \color{#c1026f}{ac} + \color{#0ea05e}{ad} + \color{#026fc1}{bc} + \color{#de6c00}{bd}$
%Examples
$(x + 1)(3x - 2)$ \t $=$ \t $\color{#c1026f}{x \cdot (3x)} + \color{#0ea05e}{x \cdot (-2)} + \color{#026fc1}{1 \cdot (3x)} + \color{#de6c00}{1 \cdot (-2)}$ \t \gap[40] \t %3
\\ \t $=$ \t $3x^2 -2x + 3x -2$
\\ \t $=$ \t $3x^2 +x -2$
\\ \t
\\ $(x - 3)(x + 3)$ \t $=$ \t $\color{#c1026f}{x \cdot (x)} + \color{#0ea05e}{x \cdot 3} + \color{#026fc1}{(-3) \cdot x} + \color{#de6c00}{(-3) \cdot 3}$ \t \gap[40] \t %3
\\ \t $=$ \t $x^2 + 3x - 3x - 9$
\\ \t $=$ \t $x^2 - 9$
#[Special cases][Casos especiales]#
#[The second example above, and the next-to-last one you filled in, are important enough to warrant special mention.][El segundo ejemplo de arriba, y el penúltimo que rellenaste, son suficientemente importantes como para justificar una mención especial.]#
#[Some identities][Algunas indentidades]#
#[If $a$ and $b$ are any real numbers, then:][Si $a$ y $b$ son cualquieras números reales, entonces:]#
#[Name][Nombre]# | #[Identity][Identidad]# | %Examples |
#[Difference of two squares][Diferencia de dos cuadrados]# | $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ (#[See the second example of %FOIL above.][Ve el segundo ejemplo de %FOIL de arriba.]#) |
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#[Square of a sum or difference][Cuadrado de una suma o diferencia]# | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (#[See the next-to-last question above.][Ve el penúltimo pregunta de arriba.]#) |
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Ahora prueba algunos de los ejercicios en la sección 0.3 del libro o , o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
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