- $(x + 2)(2x - 5) = 2x^2 - x - 10.$
- $(x + 2)(2x - 5) = 2x^2 - x - 10.$
#[Factoring by trial and error][Factorizar por ensayo y error]#
#[The usual technique of factoring such quadratic expressions is a "trial-and-error" approach, which we illustrate by means of an example and some exercises for you.][La técnica habitual de factorizar tales expresiones cuadráticas es un enfoque de "ensayo y error", que ilustramos por medio de un ejemplo y algunos ejercicios para ti.]#
#[Factoring by trial and error][Factorizar por ensayo y error]#: %Example
#[Let us factor][Factorizemos]# $x^2 - 6x + 5.$ #[Solution][Solución]#
Find ways to factor the first and last terms:
#[First term][Primer término]#: \gap[10] \t $x^2$ #[has factors][tiene factores]# $\color{#0ea05e}{x}$ %and $\color{#de6c00}{x}$ \t #[because][ya que]# $\color{slateblue}{x \cdot x = x^2}$
\\ #[Last term][Último término]#: \t $5$ #[has factors][tiene factores]# $\color{#c1026f}{5}$ %and $\color{#026fc1}{1}$ \t #[because][ya que]# $\color{slateblue}{5 \cdot 1 = 5}$
#[Group them together and make an attempt.][Agrúpalos juntos y haz un intento]#:
#[Let us factor][Factorizemos]# $x^2 - 6x + 5.$ #[Solution][Solución]#
Find ways to factor the first and last terms:
-
$(\color{#0ea05e}{x} + \color{#c1026f}{5})(\color{#de6c00}{x} + \color{#026fc1}{1}) = x^2 + 6x + 5$
-
$(\color{#0ea05e}{x} \color{#c1026f}{- 5})(\color{#de6c00}{x} \color{#026fc1}{- 1}) = x^2 - 6x + 5,$
#[Solving quadratic equations by factoring][Resolver ecuaciones cuadráticas por factorizar]#
%Q #[What is the point of all of this factoring anyway?][
¿Cuál es el punto de toda esta factorización de todos modos?]#
%A #[The most common application is to use it to solve equations of the form][La aplicación más común es utilizarla para resolver ecuaciones de la forma]#
-
$ax^2 + bx + c = 0. \qquad$ #[Quadratic equation][Ecuación cuadrática]#
#[Warmup: Solving linear equations][Calentamiento: Resolver ecuaciones lineales]#
#[An important step in solving a quadratic equation is to know how to solve so-called linear equations. A linear equation is an equation of the form][Un paso importante en la solución de una ecuación cuadrática es saber cómo resolver las llamadas ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma]#
#[An important step in solving a quadratic equation is to know how to solve so-called linear equations. A linear equation is an equation of the form][Un paso importante en la solución de una ecuación cuadrática es saber cómo resolver las llamadas ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma]#
-
$ax + b = c, \qquad $ ($a, b, c$ #[constants with $a$ non-zero.][constantes con $a$ distinta de cero]#)
%Examples
$3x + 2 = 0$ \t $\qquad$ \t $\color{slateblue}{(a = 3,\ b = 2,\ c = 0)}$
\\ $x + 1 = -4$ \t \t $\color{slateblue}{(a = 1,\ b = 1,\ c = -4)}$
\\ $-x - 6 = 1$ \t \t $\color{slateblue}{(a = -1,\ b = -6,\ c = 1)}$
\\ $8x = 0$ \t \t $\color{slateblue}{(a = 8,\ b = 0,\ c = 0)}$
#[Solution of][Solution de]# ax + b = c #[Eg.][Ej.]# −2x + 5 = 4
\t !22! 1. #[Subtract the $b$ from both sides][Restar la $b$ de ambos lados]#: (#[If b is negative, this amounts to adding a number to both sides.][Si b es negativo, eso equivale a sumar un número a ambos lados.]#)
\\
\\ \t \gap[40] \t !r! $ax + b \color{red}{\ \ - \ b}$ \t $= c \color{red}{\ \ - \ b} \qquad \qquad$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x+5} \color{red}{\ \ - \ 5} $ \t $\color{slateblue}{= 4} \color{red}{\ \ - \ 5}$
\\ \t \t !r! $ax $ \t $= c - b$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x}$ \t $\color{slateblue}{= -1}$ \t \t \gap[50] \t
\\ \t
\\ \t !10! 2. #[Divide both sides by $a$][Dividir ambos lados por $a$]#:
\\
\\ \t \t !r! $\frac{ax}{\color{red}{a}}$ \t $= \frac{c-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $\frac{-2x}{\color{red}{-2}}$ \t $=\frac{-1}{\color{red}{-2}}$
\\ \t \t !r! $x$ \t $= \frac{c-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $x$ \t $=\frac{1}{2}$
#[Suggested video for this topic: %21][Video sugerido para este tema: %21]#
#[Some for you to do][Algunas a probar para ti]#
#[Solve for $x:$ ][Despejar a $x:$ ]#
#[Solving quadratic equations][Resolver ecuaciones cuadráticas]#: %Example
#[Let us solve][Resolvamos]# $2x^2 - 9x + 4 = 0.$ #[Solution][Solución]#
#[We already saw how to factor this expression in the non-game version pf this tutorial:][Ya vimos anteriormente cómo factorizar esta expresión en la versión no juego de este tutorial:]#
#[Either][O bien]# \gap[5] \t $2x - 1 = 0,$ \gap[5] \t #[so][así]# $2x = 1,$ #[giving][que nos da]# $x = \frac{1}{2},$ \gap[40] \t #[See the Warmup above.][Ve el Calentamiento arriba.]#
\\ %or \t $x-4 = 0,$ \t #[giving][que nos da]#
$x = 4.$
#[Thus, the quadratic equation $2x^2 - 9x + 4 = 0$ has two solutions:][Por lo tanto, la ecuación cuadrática $2x^2 - 9x + 4 = 0$ tiene dos soluciones:]# $x = \frac{1}{2}, \ \ x = 4.$
#[Suggested video for this topic: %22][Video sugerido para este tema: %22]#
#[Let us solve][Resolvamos]# $2x^2 - 9x + 4 = 0.$ #[Solution][Solución]#
#[We already saw how to factor this expression in the non-game version pf this tutorial:][Ya vimos anteriormente cómo factorizar esta expresión en la versión no juego de este tutorial:]#
-
$2x^2 - 9x + 4 = (2x-1)(x-4)$
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$(2x-1)(x-4) = 0.$
#[Some for you to do][Algunas a probar para ti]#
#[Solve for $x:$ (If there is more than one solution, separate them by commas.)][Despejar a $x:$ (Si hay más que una solución, separarlos por comas.)]#
Now try some of the exercises in Section 0.3 of or , or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.
Ahora prueba algunos de los ejercicios en la sección 0.3 del libro o , o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
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