Expresiones polinómicas y ecuaciones polinómicas
En el %4 miramos expresiones de la forma
- $ax^2 + bx + c, \quad $($a \neq 0,\ b,$ y $c$ constantes) Ejemplo: $\color{steelblue}{3x^2-4x-4}$
- $3x^2-4x-4 = (3x+2)(x-2).$
Polinomio y ecuación polinómica
Un polinomio es una expresión algebráica de la forma
Un polinomio es una expresión algebráica de la forma
- $ax^n + bx^{n-1} + \cdots + rx + s$
Ejemplos
$3x-2$ \gap[10] tiene grado 1, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x = x^1.$ A los polinomios del grado 1 se les llama expresiones lineales.
\\
\\ $2x - x^2$ \gap[10] tiene grado 2, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x^2.$ A los polinomios del grado 2 se les llama cuadráticos. \\
\\ $0x^4+3x^2+1$ \gap[10] también tiene grado 2, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x^2.$
\\
\\ $4x^3-x^2-5$ \gap[10] tiene grado 3. A los polinomios del grado 3 se les llama cúbicas.
\\
\\ $x^4-1$ \gap[10] tiene grado 4. A los polinomios del grado 3 se les llama cuárticas.
Algunas a probar para ti
Una ecuación poliomio de grado $n$ es una ecuación que se puede escribir en la forma
- $ax^n + bx^{n-1} + \cdots + rx + s = 0. \quad (a \neq 0) \quad \qquad$ Polymonio de grado n = 0
Ejemplos
$3x-2 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 1. A las ecuaciones polinómicas del grado 1 se les llama ecuaciones lineales.
\\
\\ $3x^2-2x+1 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 2. A las ecuaciones polinómicas del grado 2 se les llama ecuaciones cuadráticas.
\\
\\ $4x^3-x^2-5 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 3. A las ecuaciones polinómicas del grado 3 se les llama ecuaciones cúbicas.
\\
\\ $x^4-1 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 4. A las ecuaciones polinómicas del grado 4 se les llama ecuaciones cuárticas.
Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas
Ya hemos visto cómo solucionar ecuaciones lineales, y también ecuaciones cuadráticas cuyos lados izquierdos factorizan, en %4. A continuación, repasamos aquel material:
Solution de ax + b = 0 Ej. −2x + 5 = 0
\t !22! 1. Restar la $b$ de ambos lados: (Si b es negativo, eso equivale a sumar un número a ambos lados.)
\\
\\ \t \gap[40] \t !r! $ax + b \color{red}{\ \ - \ b}$ \t $= \color{red}{\ \ - \ b} \qquad \qquad$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x+5} \color{red}{\ \ - \ 5} $ \t $\color{slateblue}{= } \color{red}{\ \ - \ 5}$
\\ \t \t !r! $ax $ \t $= - b$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x}$ \t $\color{slateblue}{= -5}$ \t \t \gap[50] \t
\\ \t
\\ \t !10! 2. Dividir ambos lados por $a.$:
\\
\\ \t \t !r! $\frac{ax}{\color{red}{a}}$ \t $= \frac{-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $\frac{-2x}{\color{red}{-2}}$ \t $=\frac{-5}{\color{red}{-2}}$
\\ \t \t !r! $x$ \t $= \frac{-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $x$ \t $=\frac{-5}{2}$
Video sugerido para este tema: %21
Algunas a probar para ti
Despejar a $x:$
Solution de ax2 + bx + c = 0 cuando el cuadrático se factoriza Ej. 2x2 + 5x - 3 = 0
\t !22! 1. Factoriza el lado izquierdo:
\\
\\ \t \gap[40] \t $\color{blue}{(px + q)}\color{red}{(rx + t)} = 0$ \t \gap[50] \t $\color{blue}{(2x-1)}\color{red}{(x+3)} = 0$
\\ \t
\\ \t !10! 2. Ya que el producto de los dos factores es igual a cero, uno de ellos debe ser cero::
\\
\\ \t \gap[40] \t $\color{blue}{px + q = 0}$ %or $\color{red}{rx + t= 0}$ \t \gap[50] \t $\color{blue}{2x-1 = 0}$ %or $\color{red}{x+3 = 0}$
\\ \t
\\ \t !10! 2. Resuelve la(s) resultante(s) ecuacion(es) lineal(es):
\\
\\ \t \gap[40] \t $\color{blue}{x = -\frac{q}{p}}$ %or $\color{red}{x = -\frac{t}{r}}$ \t \gap[50] \t $\color{blue}{x = \frac{1}{2}}$ %or $\color{red}{x= -3}$
Video sugerido para este tema: %22
Algunas a probar para ti
Despejar a $x:$ (Si hay más que una solución, separarlos por comas.)
%A: La pregunta tiene dos partes. Empezamos por contestar la primera parte: Cómo reconecer si o no se puede factorizar una expresión cuadrática.
Prueba de factorización
El cuadrático $ax^2 + bx + c,$ en le que $a, b,$ y $c$ son números enteros, se factoriza como $(rx + s)(tx + u)$ con $r, s, t,$ y $u$ números enteros precisamente cuando la cantidad
- $b^2 - 4ac$
• Si la cantidad $b^2-4ac$ es positiva pero no un caudrado perfecto (por ejemplo, $b^2-4ac = 15$), entonces el cuadrático todavía se factoriza como $(rx + s)(tx + u),$ pero no sobre los enteros: ambos números $s$ y $u$ serán irracionales.
• Si $b^2-4ac$ es negativa, entonces el cuadrático no se factoriza en absoluto.
• Si $b^2-4ac$ es negativa, entonces el cuadrático no se factoriza en absoluto.
Ejemplos
-
$3x^2-4x+1$ tiene $a = 3, b = -4, c = 1,$ por lo que
- $b^2-4ac = (-4)^2-4(3)(1) = 16-12 = 4,$
- $3x^2-4x+1 = (3x-1)(x-1).$
- $b^2-4ac = (-4)^2-4(1)(2) = 16-8 = 8,$
%A: La formula cuadrática se puede utilizar para obtener cualquieres soluciones posibles de $ax^2+bx+c=0$ si no el lado izquierdo factoriza:
Resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula cuadrática (funciona siempre)
Las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ son
- $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$
- Si $\Delta$ es positivo, hay dos soluciones reales distintas.
- Si $\Delta$ es cero, hay solo una solución real: $x = -\frac{b}{2a}.$ (¿Por qué?)
- Si $\Delta$ es negativa, no hay ningunas soluciones reales.
Ejemplos
1. $x^2-5x-12 = 0$ tiene $a = 2, b = -5,$ %and $c = -12.$ El discriminante es
- $\Delta = b^2-4ac = (-5)^2-4(2)(-12) = 25 + 96 = 121,$
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t $= \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4(2)(-12)}}{2(2)}$
\\ \t $= \frac{5\pm\sqrt{121}}{4} = \frac{5\pm 11}{4}$
\\ \t $= \frac{16}{4}$ %or $-\frac{6}{4}$
\\ \t $= 4$ %or $-\frac{3}{2}$
Nota que en este caso el discriminante es un cuadrado perfecto: $121=11^2.$ Por lo tanto, podríamos también haber obtenido la respuesta por factorizar.
2. $x^2+ 2x - 1 = 0$ tiene $a = 1, b = 2,$ %and $c = -1.$ El discriminante es - $\Delta = b^2-4ac = 2^2-4(1)(-1) = 4+4 = 8,$
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t $= \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$
\\ \t $= \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = \frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}$
\\ \t $= -1 + \sqrt{2}$ %or $-1 - \sqrt{2}$
En este caso el discriminante no es un cuadrado perfecto, por lo que el lado izquierdo no factoriza sobre los enteros.
3. $4x^2 = 12x - 9$ se puede reescribir como $4x^2-12x+9 = 0$ que tiene $a = 4, b = -12,$ %and $c = 9.$El discriminante es - $\Delta = b^2-4ac = (-12)^2-4(4)(9) = 144-144 = 0,$
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t $= \frac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4(4)(9)}}{2(4)}$
\\ \t $= \frac{12\pm\sqrt{144-144}}{8} = \frac{12\pm\sqrt{0}}{8}= \frac{12}{8}$
\\ \t $= \frac{3}{2}$
Nota que en este caso el discriminante es un cuadrado perfecto: $0 = 0^2,$ por lo que podríamos también haber obtenido la respuesta por factorizar.
4. $x^2+x+1 = 0$ tiene $a = 1, b = 1,$ %and $c = 1.$ El discriminante es - $\Delta = b^2-4ac = 1^2-4(1)(1) = 1 - 4 = -3,$
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Factorización de quadráticos que son difícil factorizar
La fórmula cuadrática también se puede utilizar para factorizar expresiones cuadráticas. Esto es útil en los casos en que un cuadrático que sabemos que debe factorizar es sin embargo difícil o tedio factorizar, como, por ejemplo,
-
$36x^2+109x+80,$
- $\Delta = b^2 - 4ac = (109)^2 - 4(36)(80) = 361,$
- $\sqrt{361} = 19,$
- $\Delta = b^2 - 4ac = (109)^2 - 4(36)(80) = 361,$
Factorizar expresiones cuadráticas con la fórmula cuadrática: Método seguro de Estéfan
(Nota que el video es realmente sólo para el caso especial en el que $a, b,$ y $c$ no tienen ningún factor común, dando $k = 1$ en el Paso 3, por lo que el video no es correcto en general. No pude encontrar un video que lo hace correctamente en el caso general.)
- Comprueba que $\Delta = b^2 - 4ac$ es un cuadrado perfecto. (Si los números son grandes, utiliza una calculadora para tomar la raíz cuadrada.)
- Utiliza la fórmula cuadrática para obteners las raices en términos mínimos $\frac{p}{q}$ y $\frac{r}{s}.$
-
La factorización deseada es $k(qx-p)(sx-r),$ donde $k = \frac{a}{qs}.$
($k = \pm 1$ cuando el cuadrático original no tiene ningún factor común entero. )
(Nota que el video es realmente sólo para el caso especial en el que $a, b,$ y $c$ no tienen ningún factor común, dando $k = 1$ en el Paso 3, por lo que el video no es correcto en general. No pude encontrar un video que lo hace correctamente en el caso general.)
Ejemplo
Vamos a utilizar este método para factorizar $36x^2+93x+60$.
- $a = 36, b = 93, c = 60 \ \ \Rightarrow \ \ \Delta = b^2 - 4ac = (93)^2-4(36)(60) = 9,$ que es un cuadrado perfecto. ✓
-
Raices:
- $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{93 \pm \sqrt{9}}{2(36)} = \frac{-93 \pm 3}{72},$
- $\frac{-90}{72} = \frac{-5}{4} = \frac{p}{q} \qquad$ %and $\qquad \frac{-96}{72} = \frac{-4}{3} = \frac{r}{s}$
-
$k = \frac{a}{qs} = \frac{36}{(4)(3)} = \frac{36}{12} = 3,$ por lo que la factorización deseada es $36x^2+93x+60$ \t $=k(qx-p)(sx-r)$ \\ \t $= 3(4x-(-5))(3x - (-4))$ \\ \t $= 3(4x+5)(3x+4)$¡Hecho!
¡Se necesita una calculadora con capacidad de mostrar fraccioness! (Calculadoras que muestran fracciones automaticamente las muestran en términos mínimos.
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Ahora prueba algunos de los ejercicios en la sección 0.4 del libro o , o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
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