El vértice de este parábola se ocurre al punto de la gráfica con coordenada x dado por -b/(2a).
Cruza el eje y (intersección en y) a y = c.
Cruza el eje x (intersección(es) en x) a las soluciones de la ecuación cuadrática x2 + bx + c = 0 (si hay cualesquiera soluciones).
Es simétrica respecto a la recta vertical por el vértice.
Si es positivo el coeficiente (a) de x2, es cóncava hacia arriba (como en el ejemplo hacia la derecha). Si es negativo el coeficiente a, es cóncava hacia abajo (como en la figura debajo).
Ejemplo
La parábola
y = x2 - 2x - 8
tiene su vértice con coordenada x
-
b 2a
=
2 2
=
1.
La coordenada y del vértice es
y = (1)2 -2(1) - 8 = -9.
La intersección en y de la gráfica es c = -8, y las intersecciones en x son las soluciones de
Una función exponencial es una función de la forma
f(x) = Abx,
en la que A y b son constantes (b > 0). A b se le llama la base de la función exponencial.
Ejemplo
La función f(x) = 3(2x) es una función exponencial en la que A = 3 y b = 2. Tiene la siguiente gráfica:
La siguiente tabla muestra los valores de coordenadas-y de puntos en la gráfica. Todo que tiene que hacer es que introducir las coordenadas-x y pulsar "Calcula y"
Valor Futuro Si se invierte una cantidad P, (el valor actual) durante t años a una tasa anual de interés r, compuesto m veces por año, el valor acumulado (valor futuro) del inversión después de t años es
A
=
P
1
+
r m
mt
Se puede pensar en A como función de t, y escribir
A(t)
=
P
1
+
r m
mt
Ejemplo
Suponga invierte usted $10,000 a una tasa anual de interés 4.8%, compuesto mensualmente. Es decir
P = 10,000, r = 0.048, m = 12.
Sustituyendo, se obtiene
A(t)
=
10,000
1
+
0.048 12
12t
=
10,000(1.004)12t
.
Esta función da el valor del inversión después de t años. Por ejemplo, después de 5 años, el inversión vale
se acercan a (convergen a) un número fijo, e = 2.71828182845904523536. . . a medida que m aumenta. La sigiuente tabla muestra los valores de (1+1/m)m por varios valores de m. Usted puede introducir un valor adicional de m y pulsar "Calcula" (observará que valores demasiado grandes de m causan faltas computacionales --- ¡experimente!).
El número e aparezca en la formula para crecimiento continuo: Si $P se invierte a una tasa de interés r, compuesto en forma continua, la cantidad acumulada después de t años es
A = Pert.
El rendimiento efectivo por compuesto en forma continua es dado por
re = er - 1.
Ejemplo
Si $10,000 se invierte a una tasa de interés anual 4.8% compuesto en forma continua, la cantidad acumulad después de t años será
Una función exponencial de desintegración tiene la forma siguiente:
Q(t) = Q0e-kt Q0, k ambos positivos
Q0 representa el valor de Q al tiempo t = 0, es decir el valor inicial, y k es la constante de desintegración.
La media vida th de una sustancia experimentando desintegración exponencial es el tiempo que tarda la mitad de la sustancia en desintegrarse. La media vida es independiente de la cantidad inicial Q0.
La constancia de desintegración k y la media vida th para Q son relacionadas por la ecuación
thk = ln 2.
Crecimiento Exponencial y Tiempo Doblando
Una función exponencial de crecimiento tiene la forma siguiente:
Q(t) = Q0ekt Q0, k ambos positivos
Q0 representa el valor de Q al tiempo t = 0, es decir el valor inicial, y k es la constante de crecimiento.
El tiempo doblando td de una sustancia experimentando crecimiento exponencial es el tiempo que tarda la cantidad de sustancia en doblarse. Como la media vida, el tiempo doblando es independiente de la cantidad inicial Q0.
La constante k y el tiempo doblando td son relacionados por la ecuación
tdk = ln 2.
Ejemplos
Desintegración Exponencial y Media Vida:
1. Q(t) = Q0e-0.000 120 968t es la función de desintegración para carbono 14.
2. Si k = 0.0123, entonces th(0.0123) = ln 2, de modo que la media vida es th = (ln 2)/k = (ln 2)/0.0123 ≈ 56.35 años.
Crecimiento Exponencial y Tiempo Doblando:
1. P(t) = 10,000e0.5t es el valor de una cuenta después de t años si $10,000 se invierte a una tasa anual de interés 5% compuesto en la forma continua.
2. Entonces k = 0.0123, entonces td (0.0123) = ln 2, de modo que el tiempo doblando es td = (ln 2)/k = (ln 2)/0.0123 ≈ 56.35 años.