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Cálculo aplicado resumen del tema: funciones de varias variables |
Funciones de varias variables
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente. Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica). |
Ejemplos
3. Sea P(x, y) = x2 + xy - y2. Introduce los valores de p en la siguiente tabla, y pulse "Verifica". |
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Ejemplos: funciones lineales, de interacción, y de distancia
Funciones lineales
Funciones de interacción
Funciones de distancia
(Caso especial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al origen se expresa por
La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa por
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Ejemplos
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Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables
Puntos en espacio tridimensional tienen coordenadas como montrado en la siguiente figura.
Gráfica de una función de dos variables
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Ejemplos
La siguiente figura demuestra donde se queda el punto (1, 2, 3) en espacio tridimensional. La gráfica de f(x, y) = x2 - y2 se muestra en la siguiente figura. Hay muchos más ejemplos en el libro de texto. Si quiere experimentar a hacer gráficas de superficies en su computadora, pruebe el Graficador de superficies o, si se prefiere Excel, el Graficador Excel de superficies. |
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Derivadas parciales
La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando los demás variables se consideran constantes. En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escriben como ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente. Se usa el símbolo "∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay mas que una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables. Interpretación
Derivadas parciales de orden superior
En forma parecida,
La derivada parcial del segundo orden se puede escribir también como fxx, fyy, fxy, y fyx respectivamente. Las ultimas dos se llaman derivadas mixtas y estarán siempre iguales cuando todas las derivadas de primer y segundo orden están continuas. |
Ejemplos
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Interpretación geometrica de derivadas parciales
Si f está una función de x y y, el proceso de tomar la derivada parcial ∂f/∂x y evaluarla a (a, b) es nada más que tomar constante y a y = b y calcular la razón de cambio de f en el punto x = a. Entonces, la derivada parcial es el pendiente de la recta tangente en el punto donde x = a y y = b, a lo largo del plano que pasa por y = b. (Vea la figura más abajo.)
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Máximos y mínimos
Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte. La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1). En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones
Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables
f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0, f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0, y f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0. Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información. |
Ejemplos
1. Sea f(x, y) = x2 - (y-1) 2. Entonces fx(x,y) = 2x; fy(x, y) = -2(y-1). Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la sistema
-2(y-1) = 0. Para comprobar cual, calcule primero las derivadas segundas:
fyy(x, y) = -2 fxy(x, y) = fyx(x, y) = 0
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Máximos y mínimos restringidos
Un problema restringido de optimización Tiene la forma
Multiplicadores de Lagrange
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Integrales dobles
Definición geométrica de la integral doble
La siguiente figura demuestra el volumen (en el caso que la gráfica de f está arriba de la región R).
Calculación de integrales dobles
Si R es la región a ≤ x ≤ b y c(x) ≤ y ≤ d(x) (como se demuestra en la figura más abajo) entonces se calcula la integral en R con la siguiente ecuación:
Si R es la región c ≤ y ≤ d y a(y) ≤ x ≤ b(y) (como se demuestra en la figura más abajo) entonces se calcula la integral en R con la siguiente ecuación:
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Ejemplos
Si R es el rectángulo 1 ≤ x ≤ 2 y 1 ≤ y ≤ 3, entonces
Sea R la región definida por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x (vea la figura)
Sea R la misma región que lo más arriba, pero esta vez descrita por 0 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2 (vea figura)
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