Nuevas funciones de las viejas:
Funciones escaladas y desplazadas
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Utilidad: Evaluador y gráficador de funciones
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Vemos las gráficas de algunas funciones "bien conocidas".


$f(x) = x$

$f(x) = x^{2}$

$f(x) = x^3$

$f(x)=\frac{1}{x}$

$f(x) = \sqrt{x}$

$f(x) = \|x\|$

(Para revisar estas gráficas, consulta la sección sobre funciones y sus gráficas en el capitulo 1 de Calculo Aplicado )

¿Qué pasa con las funciones más complicadas? Por ejemplo, ¿Qué pasa con $f(x) = (x-3)^{2}$ ? Observa que hemos tomado $f(x) = x ^{2}$ (una de las funciones ya trazadas arriba) y Reemplazar $x$ por $(x-3)$ para obtener una nueva función. Bien, aquí están algunas reglas de "desplazamiento" que dicen el efecto de operaciones como esta.

Reglas de desplazamiento
ReglaEjemplo
Desplazamiento horizontal

Sea c un número positivo fijo.

  • Reemplazar $x$ por la cantidad $(x-c)$ desplaza la gráfica a recha c unidades.
  • Reemplaza $x$ por la cantidad $(x+c)$ desplaza la gráfica a la izquierda c unidades.

Aquí hay una imagen de la gráfica de $g(x) = \|x-4\|.$ Se obtiene de la gráfica de $f(x) = \|x\|$ desplázandolo hacia derecha $4$ unidades.
Desplazamiento vertical

Sea c un número positivo fijo.

  • Reemplazar $f(x)$ por $f(x) + c$ desplaza la gráfica hacia arriba $c$ unidades.
  • Reemplaza $f(x)$ por $f(x) - c$ desplaza la gráfica hacia abajo $c$ unidades.
Aquí hay una imagen de la gráfica de $g(x) = x^{2 - 1}$. Se obtiene de la gráfica de $f(x) = x^{2}$ desplázandolo hacia abajo 1 unidad.

Aquí hay uno para que lo hagas tú.

Ejemplo 1 Dibujar una función desplazada

Sea $f(x) = \frac{1}{x+1}.$ Selecciona las opciones correctas y presione "Comprobar".

La gráfica de $f(x)$ se obtiene de la gráfica de $\frac{1}{x}$ desplázandola hacia unidad(es).
       

Haz clic en la gráfica correcta de la función $f$ .




Aquí hay uno que se obtiene por dos desplazamientos sucesivos.

Ejemplo 2 Desplazamientos múltiples

Sea $g(x) = \sqrt{x-2} + 1.$ Selecciona las opciones correctas y presiona "Comprobar".

La grafica de $g(x)$ se obtiene de la gráfica de $\sqrt{x}$ desplázandolo 2 unidades, y
1 unidad.
       

Haz clic en la gráfica correcta de la función $f$.




Pregunta: ¿Por qué funciona la reg desplazamiento horizontal?
Respuesta

Pregunta: ¿Por qué funciona la reg desplazamiento vertical?
Respuesta

Además de las reglas de desplazamiento, también tenemos la

Reglas de escalamiento
ReglaEjemplo
Escalamiento horizontal

Sea $g(x) = f(cx)$ donde c es positivo, entonces:
  • Si $c>1$, la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$, comprimida en la dirección $x$ por un factor de $c$.
  • Si $0 < c < 1$, entonces la grafica se extiende en la dirección $x$ por un factor de $1/c$ .

Aquí hay una imagen de la gráfica de $g(x) = (0.5x) ^{3}.$ Ya que $c = 0.5 < 1$, la gráfica se obtiene a partir de la de $f(x) = x ^{3}$ por extenderse en la dirección $x$ por un factor de $1/c = 2.$
Escalamiento vertical

Sea $g(x) = cf(x)$ donde $c$ positivo, entonces:
  • Si $c > 1,$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f,$ extendida en la dirección $y$ por un factor de $c$.
  • Si $0 < c < 1$, entonces la gráfica comprimida en la dirección $y$ por un factor de $1/c.$
Aquí hay una imagen de la gráfica de $g(x) = 3\sqrt{x}.$ Ya que $c = 3 > 1,$ la gráfica se obtiene a partir de la de $f(x) = \sqrt{x}$ por extenderse en la dirección y por un factor de $c = 3.$

Ahora uno para ti.

Ejemplo 3 Dibujar una función escalada

Sea $g(x) = \frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{x}\right).$ Seleccione las opciones Correctas y presiona "Comprobar".

La gráfica $g(x)$ se obtiene de la gráfica de $\left(x+\frac{1}{x}\right)$ por por un factor de
en la dirección.          

Luego traza la función en tu calculodora graficadora $f(x) = \left(x+\frac{1}{x}\right) $

en tu calculadora gráfica (o aquí) y haz clic en el gráfico Correcta de la función $g$.




Aquí hay una que se obtiene por varias operaciones sucesivas.

Ejemplo 4 Una función escalada y desplazada

Sea $g(x) = \frac {(x-2) ^2}{3} +4.$ Seleccione las opciones correctas y presione "Comprobar".

A partir de $f(x) = x^2,$

Paso 1: Reemplaza $x$ por $(x-2),$ dando $(x-2) ^{2}.$
  Esto

Paso 2: Divida la última función por $3$, dando $(x-2)^{2/3}.$
  Esto

Paso 3: Ahora añada $4$ a la última función, para obtener la función dada $g.$
  Esto

Aquí hay las gráficas correspondientes a estos pasos.

Función original
$y = x^{2}$
Paso 1
$y = (x-2) ^{2}$
Paso 2
$y = \frac{(x-2)^2}{3}$
Paso 3
$y = \frac{(x-2)^2}{3}+4$

Finalmente, consideramosa reflexiones en los ejes.

Reflexiones
ReglaEjemplo
Reflexión horizontal
  • Reemplazando $x$ por la cantidad $(-x)$ refleja la gráfica en el eje $y.$
  • (En otras palabras, este "gira alrededor del eje $y$").

Aquí hay una imagen de la gráfica de $g(x) = (-0.5x) ^{3}+1$. Esta se obtiene a partir de la gráfica de $f(x) = 0.5x ^{3}+1$ por reflejarse en el eje $y$.
Reflexión vertical
  • Remplazando $f(x)$ por $-f(x)$ refleja la gráfica en eje $x$.
  • (En otras palabras, este "gira alrededor del eje $x$").
Aquí hay una imagen de la gráfica de $g(x) = -(x ^{2} - 1).$ Esta se obtiene a partir de la gráfica de $f(x) = x ^{2} - 1$ por reflejarse en el eje $x$.

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Última actialización: Marzo, 2013
Derechos de autor © 1998 Stefan Waner y Steven R. Costenoble