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Cálculo aplicado ejercicios: funciones de densidad de probabilidad y la distribución uniforme

En Ejercicios 1–12, decida si la función que se muestra es una función de densidad de probabilidad. Si la respuesta es "no," elija la razón.

En Ejercicios 13–18, halle el valor de k para lo que la dada función sea una función de densidad de probabilidad.

Distribución Acumulada Si f es una función de densidad de probabilidad definida en el intervalo (a, b), entonces su distribución (acumulada) de probabilidad F se expresa por

\displaystyle F(x) = \text{ Área sombreada } =\int_0^xf(t)\ dt

19.¿Porqué es F'(x) = f(x) ?  

20. Aplique el resultado del ejercicio anterior para mostrar que

para a \leq c \leq d \leq b.

21. Muestre que F(a) = 0 y F(b) = 1.  

22. ¿Puede tener F(x) cualquier extremo relativo en la interior de su dominio? (De una razón para su respuesta.)

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Aplicaciones

A menos que se especifique lo contrario, redondee resultados de cada aplicación hasta cuatro posiciones decimal.

Playeras La edad (en años) de playeras elegidas al azar de su guardarropa el verano pasado es distribuido de acuerdo a la función de densidad \displaystyle f(x) = \frac{10}{9x^2} con 1 \leq x \leq 10. Determine la probabilidad de que una playera elegida al azar sea entre 2 y 8 años de edad.
Respuesta:       

Entretenimiento El número de horas que tarda usted mirando YouTube durante una típica noche de sábado es distribuido de acuerdo a la función de densidad f(x) = 2xe^{-x^2} con 0 \leq x. Determine la probabilidad de que, durante una típica noche de sábado, tarda entre y horas mirando YouTube.
Respuesta:       

El Meteoro del Apocalipsis La probabilidad de que un "meteoro del Apocalipsis" golpeare la Tierra durante cualquier año especificado y liberare un mil millones o más de megatoneladas de energía es aproximadamente 0.000 000 01. Sea X el año durante lo que un meteoro del apocalipsis golpea la Tierra, entonces puede ser modelado con una función de densidad de probabilidad expresada por f(x) = ae^{-ax} con a = 0.000\ 000\ 01 (vea la discusión de funciones exponenciales de densidad de probabilidad en la siguiente sección para averiguar de donde esta función de densidad).

Fuente: Taller Internacional NASA Sobre la Detección de Objetos Cercanos al Tierra (New York Times, Enero 25, 1994, p. C1.)

Cataclismo Galáctico La probabilidad de que la galaxia MX-47 vaya a explotar durante el próximo millón de años es estimado como . Si X es el periodo de millones de años durante lo que la galaxia MX-47 va a explotar, entonces puede ser modelado con una función de densidad de probabilidad expresada por f(x) = ae^{-ax} con a = (vea la discusión de funciones exponenciales de densidad de probabilidad en la siguiente sección para averiguar de donde esta función de densidad).

Salarios Asuma que los salarios de los trabajadores en su empresa son distribuidos uniformemente entre $10,000 y $40,000 por año, calcule la probabilidad de que un trabajador elegido al azar gane un salario anual entre $14,000 y $20,000.
Respuesta:       

Notas Los promedios general de calificación de los miembros de la Sociedad Gourmet son distribuidos uniformemente entre y . Calcule la probabilidad de que un miembro elegido al azar tiene un promedio general de calificación entre y .
Respuesta:       

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Ejercicios de comunicación y razonamiento

¿Porqué es frecuentemente más conveniente una función de densidad que un histograma?  

De un ejemplo de una función de densidad de probabilidad que está creciendo por su dominio entero.

De un ejemplo de una función de densidad de probabilidad que es cóncava hacía arriba por su dominio entero.  

De un ejemplo de una variable aleatoria que no admite una función de densidad de probabilidad. [Pista: Vea la nota en el texto después de la definición de una función de densidad de probabilidad.]

Su amigo cree que si f sí es una función de densidad para la variable aleatoria continua X, entonces para cada valor a, f(a) es la probabilidad de que X = a. Explique a su amigo porque está equivocado.  

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Última actualización: Marzo, 2008
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