Introducción a la Lógica
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble
Este texto en-línea es, en su mayor parte, dedicada al estudio de lo llamado Cálculo proposicional. Contrariamente a lo que el nombre sugiere, éste no tiene nada que ver con el tema que la mayoría de las personas asocian con la palabra "cálculo." En realidad, el término cálculo es un nombre genérico para cualquier área de matemáticas que se concierne con calculación. Por ejemplo, aritmética se podría llamar el cálculo de los números. Cálculo proposicional es el cálculo de las proposiciones. Una proposición, o una declaración, es cualquier enunciado declarativo que sea verdadero (V) o falso (F). Nos referimos a V o F como el valor de verdad de la declaración.
Pues es verdadera esta declaración, su valor de verdad es V.
El enuniciado "1 = 0" es también una declaración, pero su valor de verdad es F.
"Va a llover mañana " es una proposición. Para su valor de verdad que se tendría que esperar a mañana.
La siguiente declaración puede facilmente ser pronunciada por un maestro zen a un discípulo perplejo: "Si soy Buda, entonces yo no soy Buda." Esta es una afirmación que, como veremos más adelante, en realidad equivale a la simple declaración de "No soy Buda". Mientras no es Buda el orador, es verdadera la declaración.
"Resolver la siguiente ecuación para X" no es una proposición, ya que no se puede asignar cualquier valor de verdad en absoluto. (Es un imperativo, o demando, en lugar de un enunciado declarativo.)
"El número 5" no es una proposición, ya que no es ni siquiera una oración completa.
"Esta declaración es verdadera" puede parecer una declaración, pero no hay manera de que su valor de verdad puede ser determinada: es verdad, o es falsa? Por lo tanto, la descalificamos tambeín. (De hecho, es la negación de la paradoja del mantiroso, véase más adelante para una discución de negación.)
Oraciones como éstas se llaman oraciones autoreferencial, ya que se refieren a sí mismos.
Aquí hay algunos ejemplos bastante divertidos (y un poco inquietantes) de oraciones autoreferenciales; las dos primeras son adoptado del libro Metamagical Themas por Douglas R. Hofstadter:
Vamos a utilizar las letras p, q, r, s, y así sucesivamente para las preoporciones. Así por ejemplo, podríamos decir que p representa la proposicion "la luna es redonda", y escribimos:
Lo leemos como:
A la izquierda son los dos valores de verdad posibles de p, con los correspondientes valores de verdad de ~p de la derecha. El símbolo ~ es nuestro primer ejemplo de un operador lógico.
Lo que sigue es una definición más formal.
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La negación de p es la proposición ~p, que se lee "no p. "Su valor de verdad se define por la siguiente tabla de verdad. El símbolo de la negación "~" es un ejemplo de operador unario lógico (el termino "unario" indica que el operador actúa en una única proposición). |
| (a) | p: "2+2 = 4" |
| (b) | q: "1 = 0" |
| (c) | r: "Los diamantes son el mejor amigo de una perla." |
| (d) | s: "Todos los políticos en esta ciudad son ladrones. " |
4."(b) ~q: "1 0."
(c) ~r: "Los diamantes no son son el mejor amigo de una perla".
(d) ~s: "Los políticos en esta ciudad no son todos ladrones." [Pero puede ser algunos...]
Observe que ~p es falsa, ya que p es verdadera. Sin embargo, ~q es verdadera, ya que q es falsa. Una declaración de la forma ~q también puede ser verdadera, es un error común pensar que debe ser falsa.
Decir que los diamantes no son el mejor amigo de una perla no quiere decir que los diamantes son el peor enemigo de una perla. La negación no es el polo opuesto, pero cualquiera que puede negar la verdad de la declaración original. Del mismo modo, decir que no todos los políticos son ladrones no es lo mismo que decir que ningún políticos son ladrones, pero es lo mismo que decir que no todos los políticos son ladrones. Negación de las oraciones que involcran los cuantificadores "todos" o "algunos" es delicada. Vamos a estudiar con mayor profundidad los cuantificadores cuando discutamos el cálculo de predicados.
Aquí hay algunas para que usted pruebe:
Aquí hay una otra manera en la que podemos formar nuevas proposiciones de los viejos. A partir de p: "Estoy listo," y q: "Tú eres fuerte", se puede formar la proposición "yo soy listo y tú eres fuerte". Indicamos esta nueva proposición por p
q, y se lee "p y q. "Para que sea verdadera pq ambas p y q deben ser verdaderas. Así, por ejemplo, si yo soy inteligente, pero no eres fuerte, entonces pq es falsa.
El símbolo es otro operador lógico. La declaración pq se llama la conjunción de p y q.
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La conjunción de p y q es la declaración p
En las columnas p y q se enumeran las cuatro posibles combinaciones de valores de verdad para p y q, y en la columna de p El símbolo de conjugación " |
En los ejemplos siguientes, empezamos a ver la forma en que la riqueza de color e insinuaciones de la lengua son desnudados a lo esencial por el simbolismo lógico.
q?
pq: "Esta galaxia, en última instancia, desaparece en un agujero negro y 2+2=4," o la más sorprendente declaración: "¡No sólo desaparece en última instania esta galaxia desaparece en un agujero negro, pero 2+2 = 4!"
q es verdadera, de modo que, si p es verdadera también entonces pq es verdadera. Por otra parte, si p es falsa, entonces toda la declaración pq séra falsa.
(~q)?
p(~q) dice: "esta galaxia, en última instancia, desaparece en un agujero negro y 2+2 4," o "En contra de sus esperanzas y aspiraciones, esta galaxia está condenada a desaparecer en un agujero negro y, ademas, dos más dos es decididamente diferente de cuatro!"
Desde ~q es falsa, toda la declaración p(~q) es falsa (independientemente de si p es verdadera o no).
La primera cláusula es la negación de p, por lo que es ~p. La segunda cláusula está simplemente indicando la (falsa) afirman que la lógica es un tema aburrido y, por lo tanto, asciende a q. La frase "aunque" es una colorida forma de decir que las dos cláusulas son verdaderas, y así toda la declaración no es más que (~p)q.
La declaración afirma que los tres estados p, q y r son verdaderas. (Tenga en cuenta que "pero" es simplemente una forma enfático de "y".) Ahora podemos combinar todos ellos en dos etapas: En primer lugar, podemos combinar p y q para obtener pq, que significa "Este tema es aburrido y este sitio Web es aburrido". Podemos conjugar esto con r para obtener: (pq)r. Esto dice: "Este tema es aburrido, este sitio Web es aburrido y la vida es aburrida". Por otro lado, se podría hacer hecho igual de bien que al revés: conjugar q y r para obtener "Este sitio web es aburrido y la vida es aburrida", luego de cojugar p para obtener p(qr), que a su vez dice: "este tema es aburrido, este sitio Web es aburrido y la vida es aburrida". Pronto veremos que
q)r
(qr),q)r y p(qr) son igualmente válidas. Esto es como decir que (1+2)+3 es lo mismo que 1+(2+3). Al igual que con otra, a veces eliminamos los paréntesis y escribimos
qr. Como hemos visto, hay muchas maneras de expresar una conjunción en español. Por ejemplo, si
q:
Cualquier frase que sugiere que las dos cosas son verdaderas a la vez es una conjugación. El uso de la lógica simbólica elimina los elementos de sorpresa o del juicio que también puede expresarse en una frase en español.
Ahora introducimos un tercer operador lógico. A partir una vez más con p: "Yo soy inteligente", y q: "Tu eres fuerte", se puede formar la declaración "Yo soy inteligente o tu eres fuerte", que se puede escribir simbólicamente como p
q, que se lee "p o q". Ahora, en español la palabra "o" tiene varios significados posibles, por lo que tenemos que ponernos de acuerdo en cual queremos aquí. Matemáticos se han asentado sobre la o inclusivo: pq significa que p es verdadera o q es verdadera, o ambos son verdaderas .
Con p y q como antes, entonces pq significa "Yo soy inteligente, o yo soy fuerte, o ambos". A veces vamos a incluir la frase "o ambos" para la atención, pero incluso si no hacemos, lo es que queremos decir. Llamamos pq la disyuntiva de p y q.
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La disyunción de p y q es la declaración p
Este es el inclusivo o, por lo que p Observe que laúnica manera para ser falsa toda la delcaración es por lo tanto p y q son falsas. Por esta razón podemos decir que p El síbolo de disyunción " |
| (a) | ¿Qué significa pq? |
| (b) | ¿Qué significa (pq)(~r)? |
q: "o bien el mayordomo o el cocinero lo hizo".
(Recuerde que esto no excluye la posibilidad de que el mayordomo y el cocinero lo hicieron ambos o que fueron en realidad la misma persona! La única forma en que pq podría ser falsa, si ni el mayordomo, ni el cocinero lo hicieron).
(b) (pq)(~r) dice que "el mayordomo o el cocinero lo hizo, pero no el abogado".
(a) "O bien 55 es no divisible por 11 o 676 no es divisible por 11."
(b) "O bien 55 es divisible por 5 o bien por 11, o 676 es divisible por 11."
(~q).
(b) Esta es la disyunción de los tres estados, y es así (pr)q, o equivalente, p(rq). También es equivalente a (pq)r y p(qr).
(a) es verdad porque ~q es cierto. (b) es verdad porque es cierto. Observe que r es también cierto. Si al menos uno de p, q, r, o es cierto, todas las declaración (pq)r será verdad.
Para terminar esta sección con unpoco de terminología: Un compuesto es una exposición formada a partir de las declaraciones más simples a través del uso de operadores lógicos. Ejemplos de ellos son ~p, (~p)(qr) y p(~p). Una declaración de que no puede expresarse como un compuesto que se llama declaración atómica . Por ejemplo, Estoy listo "es una declaración atómica. En una sentencia compuesta, como (~p)(qr), nos referiremos a la p, q, y r variable de la declaración. Así, por ejemplo, ~p es un compuesto en la declaración única variable p.
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