Introducción a Lógica
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble
Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo." Esta parece ser compuesta en dos oraciones más simplemente:
p: "Obtienes una A en lógica," y
q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."
La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es verdad, entonces q es verdad, o, más simple, si p, entonces q. También podemos escribir la frase como p implica q, y escribimos p→q.
Ahora supongamos por el bien de la discución de que la proposición original: "Si obtiene una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo," es verdad. Esto no significa que tu obtendrás una A en lógica; lo único que quiere decir es que si tu lo haces, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo. Si Pensamos en esto como una promesa, la única manera que pueda ser rota esta promesa es si ganas una A pero no te compro un Mustang amarillo. En general, usamos esta idea para definir la proposición p→q.
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Condicional
La condicional p→q, que se lee "si p, entonces q" o "p implica q," se define con la siguiente tabla de verdad.
La flecha "→" es el operador condicional, y en p→q la proposición p es llamada en el antecedente, o hipótesis, y q es llamada la consecuente, o conclusión. Observa que el condicional en un nuevo ejemplo de un operador lógico binario -- asigna a cada par de proposiciones p y q la nueva proposición p→q. |
1. La única manera que puede ser falsa p→q es si p es verdadera y q es falsa—esto es el caso de la "la promesa rota."
2. Si estudias la tabla de verdad una vez más, puedes ver que decimos que "p→q" es verdadera cuando p es falsa, sin importa el valor de verdad de q. Esto tiene más sentido en el contexto de la promesa — si no obtienes una A, entonces si o no te compro un Mustang, no estoy rompiendo mi promesa. Sin embargo, va en contra del grano si piensas que "si p entonces q" es lo mismo que decir que p causa q. El problema es que hay realmente muchas maneras que las frases en español "si ... entonces ..." se utilizan. Lógicos están de acuerdo que el significado que se da en la tabla de verdad más arriba es lo más útil para las matemáticas y por lo tanto, eso es el significado que siempre usaremos. Dentro de poco discutiremos otras frases en español que interpretamos con el mismo significado.
A continuación, algunos ejemplos que nos ayudaran a explicar cada línea de la tabla de verdad.
Aquí p: "1+1 = 2" y q: "El sol sale por el este."
Observa que las proposiciones p y q no tiene nada que ver una con otra. No estamos diciendo que el sol sale por el este porque 1+1 = 2, simplemente que la proposición entera es lógicamente verdadera.
Aquí p: "Esta lloviendo," y q: "Llevo un paraguas." En otras palabras, podemos reformular la frase o oración como: "Si llueve entonces llevo un paraguas." De hecho, es frecuentemente el caso que llueve (p es verdadera) y se me olvido traer mi paraguas (q es falsa). En tal momento la proposición p→q es claramente falsa.
Observa que interpretamos "Cuándo p, q" como "Si p entonces q."
El siguiente ejemplo explica las dos últimas líneas de la tabla de verdad para la condicional.
Aquí p: "La luna es hecha de queso verde," que es falsa, y q: "Soy el rey de Inglaterra." La proposición p→q es verdadera, si o no el orador suele ser el rey de Inglaterra (o si, lo que es más, aún hay un rey de Inglaterra).
"Si tuviera 1 millón de dólares estaría en Easy Street." "Sí claro, y si mi abuela tuviera ruedas ella sería un autobús." El punto de la réplica es que si la hipótesis es falsa, la implicación entera es verdadera.
Ve la tabla de verdad una vez más, y observa que p→q es verdadera presisamente cuando p es falsa o q es verdadera (o ambos). En otras palabras, p→q es lógicamente equivalente a (~p)
q. Los siguientes ejemplos demuestran este hecho.
Para concluir que "yo soy" por "pienso," Descartes hace la siguiente preposición implícita: "Si pienso, entonces soy." Si Descartes no piensa, entonces no importa si el existe o no. Si él existe, entonces no importa si él piensa o no. El único caso que podría contradecir su proposición es si rompe la promesa: Él piensa, pero no existe.
(~p)q.
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(~q)). La única forma que el condicional puede ser falsa en el caso de la promesa rompas: cuando p es verdadera y q es falsa.
Debería sorprender el hecho de que podemos convertir la implicación en una disyunción. De hecho, detrás de todo esto es una técnica muy poderosa. No es muy difícil (usando la tabla de verdad) para convertir cualquier proposición lógica en una disyuncción de conjunciones de átomos o sus negaciones. A esto se le llama la forma normal disyuntiva, y es esencial en el diseño de los circuitos lógicos que componen las computadoras digitales.
Por falta de un nombre mejor, llamaremos a la equivalencia p→q(~p)q la ley de "Switcheroo". 
| Ley de Switcheroo
La ley de Switcheroo es la equivalencia lógica
(~p)q.
En palabras, esto expresa la equivalencia entre decir "si p es verdad, entonces q debe ser verdad" y decir "p no es verdad, o bien q debe ser verdad." |
| Algunas frases de el Condicional
Cada una de las siguientes es equivalente a el Condicional p→q.
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Observa la diferencia entre "si" y "sólo si." Decimos que "p sólo si q" significa p→q ya que, solo cuando p→q es verdadera, p puede ser verdadera sólo si q es también verdadera. En otras palabras, la única línea de la tabla de verdad en la que p→q es verdadera y p es verdadera tiene también q como verdadera. La frase "p es una condición suficiente para q" dice que es suficiente saber que p es verdadera para concluir que q es verdadera. Por ejemplo, es sufieciente que obtengas una A en lógica, para que te compre Mustang amarillo. Otras cosas me podrían inducir a comprarte un coche, pero una A en lógica sería suficiente. La frase "q es necesario para p" esto lo veremos más tarde (Ver el Ejemplo 9).
qqp, y pqqp.
P ¿Aplica la ley conmutativa al condicional?. En otras palabras, ¿Es p→q lo mismo que q→p?
R No. Podemos ver esto con la siguiente tabla de verdad:
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Las columnas correspondientes con p→q y q→p son diferentes, y por lo tanto las dos proposiciones no son equivalentes. A la proposición q→p llamamos la conversa de p→q. (A la conversa tambíen se le llama recíproca).
| Conversa
A la proposición q→p se llamada la conversa de la proposición p→q. Un condicional y su conversa no son equivalentes. |
El hecho de que un condicional facilmente se puede confundir con su conversa a menudo se utiliza en la publicidad. Por ejemplo, el eslogan "Bebe Boors, la bebida designada al equipo olípico de los EUA" sugiere que todos los atletas Olímpicos de EUA beben Boors (es decir, si eres atleta Olímpico de los EUA, debes beber Boors). Lo que esta tratando de decir al mismo tiempo puede ser la conversa: Todos los que beben Boors pueden ser atletas olípicos de los EUA (si tu bebes Boors entonces serás un atleta Olímpico de los EUA, o: Es suficiente beber Boors para convertirte en atleta olímpico de los EUA).
Auque la conditional p→q es lo mismo que su conversa, sí es lo mismo que su llamado contrapositivo, (~q)→(~p). Mientras que puede demostrar muy facílmente con una tablas de verdad (que se le pedirá hacer en un ejercicio) podemos demostrar esta equivalencia utilizando la equivalencias que ya sabemos:
| p→q | (~p)q | Switcheroo |
| q(~p) | Conmutativa de  | |
| ~(~q)(~p) | Doble Negación | |
| (~q)→(~p) | Switcheroo |
| Contrapositiva
A la proposición (~q) → (~p) se llamada la contrapositiva de la proposición p→q. Una condicional es equivalente a su contrapositiva. |
, "O" para ., y "IMPLICA" PARA →. Por ejemplo, puedes introducir q) → (~r) como (p O q) IMPLICA ~rYa vimos que p→q no es lo mismo que q→p. Puede ocurrir, sin embargó, que ambos p→q y q→p son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 = 2," entonces p→q y q→p ambas son verdaderas porque p y q ambas son falsas. La proposición p↔q se define como la proposición (p→q)(q→p). Por esta razón, la flecha de doble cabeza ↔ se llama el bicondicional. Obtenemos la tabla de verdad para p↔q construyendo la tabla para (p→q)(q→p), que nos da lo siguiente.
| Bicondicional
El bicondicional p↔q, que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente a q," se define por la siguiente tabla de verdad. La flecha "↔" es el operador bicondicional. Ten en cuenta que, en la tabla de verdad, vemos que, para p↔q ser verdadera, ambas p y q deben tener los mismos valores de verdad; sí no, es falsa la conversa. |
| Algunas frases del Bionditional
Cada uno de los siguientes es equivalente al bicondicional p↔q.
p es necesario y suficiente para q. p es equivalente a q. Ten en cuenta que p↔q es lógicamente equivalente a q↔p (se le pedirá mostrar esto como un ejercicio), así que podemos invertir p y q en las frases de arriba. |
Para la frase "p si y solo si q," recuerde que "p si q" significa q→p mientras "p solo si q" significa p→q. Para la frase "p es equivalente a q," las proposiciones A y B son lógicamente equivalentes si y solo si la proposición A↔B es una tautológia (¿por qué?). Regresaremos a ese tema en la siguiente sección.
(b) Aquí están algunas maneras equivalentes de expresar esta oración:
"Me pagan una gran suma de dinero si y solo si enseño matemáticas."
Lamentablemente para nuestras finanzas, ninguna de las dos oraciones es verdad.
