Introducción a Lógica

Implicaciones Tautológicas

En esta sección ampliamos nuestra lista de tautologías "estándares" por agregar la condicional y la bicondicional. De ahora en adelante, utilizaremos letras minúsculas como p y q solo para denotar proposiciones atómicas, y letras mayúsculas como A y B para denotar proposiciones de todo tipo, compuestas o atómicas.

Primero vemos algunas implicaciones tautológicas; tautologías de la forma AB. Debes comprobar las tablas de verdad para cada una de estas proposiciones para ver que ciertamente son tautologías.

Nota que trazamos una línea en la forma argumental para separar lo que nos da en la conclución que sacamos. Esta tautología representa la forma más directa de razonamiento cotidiano, de ahí su nombre "razonamiento directo". Otro poco de terminología: decimos que pq y p juntas lógicamente implican q.

Para comprobar que es una tautología, utilizamos una tabla de verdad.

p	q	pq	(pq) p	[(pq) p] q
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

Una vez más, modus ponens dice que, si sabemos que p implica q, y sabemos que p es verdadera, entonces concluimos que q también es verdadera. Esto se conoce como afirmar la hipótesis. No deberías confundir esto con un argumento falso como: "Si fuera un atleta olímpico entonces tomaría Boors. Tomo Boors, y por lo tanto soy un atleta olímpico." (¿Por qué esto es absurdo?) Esto se conoce como falacia de afirmar el consecuente. Hay, sin embargo, un argumento correcto en el que denegamos el consecuente:

Como podemos ver, este argumento no es tan directo como el del primer ejemplo; parece que tiene un pequeño giro: "Si p fuera verdad entonces q también sería verdad. Sin embargo, q es falsa. Por lo tanto, p también debe ser falsa (o q seria verdad)". Por eso nos referimos a ello como razonamiento indirecto.

Dejamos la tabla de verdad para los ejercicios. Note que hay otra vez una forma de este argumento similar, pero falso, para evitar: "Si fuera un atleta olímpico entonces tomaría Boors. Sin embargo, yo no soy atleta olímpico. Por lo tanto, no puedo tomar Boors". Esto es un error que Boors espera sinceramente que ¡no lo hagas!

Ejemplo 1 Practica con razonamineto directo y indirecto

Usa modus ponens o modus tollens para sacar la conclución apropiada.

Si voy a Marte, me presentaré como candidato.
Voy a Marte.
Por lo tanto,	Selecciona una Voy a Marte. No voy a Marte. Me presentaré como candidato. No me presentaré como candidato. No se aplica ninguna de las reglas.
Si voy a Marte, me presentaré como candidato.
Voy a presentarme como candidato.
Por lo tanto,	Selecciona una Voy a Marte. No voy a Marte. Me presentaré como candidato. No me presentaré como candidato. No se aplica ninguna de las reglas.
Si voy a Marte, me presentaré como candidato.
No voy a Marte.
Por lo tanto,	Selecciona una Voy a Marte. No voy a Marte. Me presentaré como candidato. No me presentaré como candidato. No se aplica ninguna de las reglas.
Si voy a Marte, me presentaré como candidato.
No me presentaré como candidato.
Por lo tanto,	Selecciona una Voy a Marte. No voy a Marte. Me presentaré como candidato. No me presentaré como candidato. No se aplica ninguna de las reglas.

Más implicaciones tautológicas:

Aviso
Las siguientes no son tautologías:

(pq)p;

p(pq).

En el conjunto de ejercicios, se le pedirá comprobar que éstas no son tautologías.

Ejemplo 1P Práctica con simplificación y adición

Utiliza la simplificación o adición para sacar la conclusión adecuada.

¡Basta ya! Voy a Marte.
Por lo tanto,	Selecciona ona Voy a Marte y soy el rey de Inglaterra. Voy a Marte o soy el rey de Inglaterra. Soy el rey de Inglaterra. No soy el rey de Inglaterra. Ninguna de las anteriores.
Voy a Marte, pero no a Júpiter.
Por lo tanto,	Selecciona ona No voy a Júpiter. No voy a Marte. Voy a Júpiter. Voy a Marte. Ninguna de las anteriores.
No voy a Marte.
Por lo tanto,	Selecciona una No voy ni a Marte, ni a Júpiter. Voy a Marte y Júpiter. Voy a Marte pero no a Júpiter. Voy a Júpiter pero no a Marte. Ninguna de las anteriores.

Aquí están las dos últimas consecuencias tautoligícas que veremos.

Ejemplo 2 Práctica con silogismo disyuntivo y transitividad

Usa silogismo disyuntivo y transitividad para sacar la conclución adecuada.

No puedo ir a la base lunar.
Tengo que ir a Marte o a la base lunar.
Por lo tanto,	Selecciona una Voy a ir a Marte y a la base lunar. voy a la base lunar. Voy a Marte. Voy a Marte o a la base lunar. Ninguna de las anteriores.
Si debo ir a Marte, no puedo ir a Júpiter.
Si no voy a Júpiter, me quedaré en casa.
Por lo tanto,	Selecciona una Si debo ir a Marte, me quedaré en casa. No voy Marte y me quedaré en casa. Voy a Júpiter. Si me quedo en casa, no puedo ir a Júpiter. Ninguna de las anteriores.
Si voy a Júpiter, voy a pasar a Io.
Si no voy a Marte, definitivamente voy a Júpiter.
Por lo tanto,	Selecciona una Si no voy a a Io, no voy a Júpiter. Si voy a Io, no voy a Marte. Si no voy a Marte, no voy a Io. Si no voy a Marte, voy a Io. Ninguna de las anteriores.

Equivalencia Tautológica

El siguiente lote de tautologías son equivalencias tautológicas, que son tautologías de la forma AB. Recuerda que la proposición AB es verdadera exactamente cuando A y B tienen el mismo valor de verdad. Cuando A y B son proposiciones compuestas, esta condición debe ser verdad para todos los valores de verdad de las proposiciones atómicas usadas en A y B. Esto significa que A y B son proposiciones lógicamente equivalentes.

Por lo tanto, cada equivalencia lógica que ya sabemos nos da una equivalencia tautológica. Aquí hay unos ejemplos. Veremos mucho más en la tabla al final de la sección.

 
Concluimos esta sección con una lista de tautologías importantes.

Tautológias importantes

A. Implicaciones Tautológicas

Forma Simbólica	Forma de Argumento	Nombre
1. [(pq)p]q	pq p q	Modus Ponens (Razonamiento directo)
2.[(pq)~q]~p	pq ~q ~p	Modus Tollens (Razonamiento indirecto)
3. (pq)p (pq)q	pq p pq q	Simplificación
4. p(pq)	p pq	Adición
5. [(pq)(~p)]q [(pq)(~q)]p	pq ~p q pq ~q p	Silogismo Disyuntivo (Uno-o-el-Otro)
6. [(pq)(qr)](pr)	pq qr pr	Transitividad de

B. Equivalencias Tautológicas

Forma Simbólica	Forma Argumento	Nombre
1. p~(~p)	p ~(~p) ~(~p) p	Doble Negación
2. pqqp pqqp	pq qp pq qp	Ley Conmutativa
3. (pq)rp(qr) (pq)rp(qr)	(pq)r p(qr) p(qr) (pq)r	Ley Asociativa
4. ~(pq)(~p)(~q) ~(pq)(~p)(~q)	~(pq) (~p)(~q) (~p)(~q) ~(pq) ~(pq) (~p)(~q) (~p)(~q) ~(pq)	Ley De Morgan
5. p(qr) (pq)(pr) p(qr) (pq)(pr)	p(qr) (pq)(pr) (pq)(pr) p(qr) p(qr) (pq)(pr) (pq)(pr) p(qr)	Ley Distributiva
6. ppp ppp	pp p p pp pp p p pp	Ley Idempotente
7. (pq)((~p)q)	pq (~p)q (~p)q pq	Switcheroo
8. (pq)(~q~p)	pq (~q)(~p) (~q)(~p) pq	Contrapositiva
9. (pq) ((pq)(qp))	pq (pq)(qp) (pq)(qp) pq	Significado de la Bicondicional