Introducción a Lógica

En la última sección, escribimos todas las tautológias a la que llamamos "forma argumental". Por ejemplo, Modus Ponens [(p→q)p]→q se representa como:

p→q

p

q

Pensamos en las proposiciones sobre la línea, las premisas, como las proposiciones dadas a nosotros como verdaderas, y las proposiciones debajo de la línea, la conclusión, como una proposición por consecuencia debe ser también verdadera.

La convención ha sido que las letras minúsculas como p significan proposiciones atómicas. Pero, no hay razón para restringir Modus Ponens a tales proposiciones. Por ejemplo, nos gustaría poder hacer el argumento siguiente:

Si las rosas son rojas y las violetas son azules, entonces el azúcar es dulce y tu también.

Las rosas son rojas y las violetas son azules.

Por lo tanto, el azúcar es dulce y tu también.

En simbolos, esto es:

(pq)→(rs)

pq

rs

Por lo tanto, debemos escribir el Modus Ponens en las siguiente forma más general y por lo tanto utilizable:

A→B

A

B

donde, ya que tiene nuestra convención, A y B pueden ser cualquier proposiciones, atómicas o compuestas.

En esta forma, Modus Ponens es nuestra primer regla de inferencia. Utilizaremos reglas de inferencia para juntar listas de proposiciones verdaderas, llamada pruebas. Una prueba es una manera de mostrar cómo una conclución se desprende de una coleción de premisas. Modus Ponens, en particular, nos permite afirmar, si A→B y A ambas aparecen como proposiciones en una prueba, entonces nos justificamos en la adición de B como otra proposición en la prueba. (Diremos mas sobre pruebas en la Sección 6.)

Ejemplo 1 Aplicar Modus Ponens

Aplica Modus Ponens a las proposiciones 1 y 3 en la siguiente lista de premisas (es decir, las proposiciones que tomamos para ser verdaderas).

1. (pq)→(r~s)

2. ~r→s

3. pq

Solución

Observamos que todas las proposiciones son proposiciones compuestas, y que tienen los siguientes patrones:

1. A→B

2. C

3. A.

La proposición A aparece dos veces; en las líneas (1) y (3). Por usar el Modus Ponens, podemos deducir B = r~s desde estas líneas. (Línea (2) no va hacer utilizada en absoluto; solo va junto para el paseo.) Así, podemos aplicarla en nuestra lista de la siguiente manera:

1. (pq)→(r~s)	Premisa
2. ~r→s	Premisa
3. pq	Premisa
4. r(~s)	1,3 Modus Ponens

A la derecha hemos dado la justificación para cada línea: línea (1) a travéz de la (3) se dieron como premisas, y la línea (4) seque por una aplicación de Modus Ponens a las líneas (1) y (3); de aquí la justificación "1, 3 Modus Ponens."

Antes de seguir...

La lista anterior de las cuatro proposiciones constituyen una prueba que proposición 4 sigue de las premisas 1-3, y nos referimos a ella como prueba del argumento:

(pq)→(r~s)	Premisa
~r→s	Premisa
pq	Premisa
r(~s)	Conclución

Ejemplo 1P Práctica Aplicando Modus Ponens

Rellena la proposición que hace falta. Para ingresar la proposición, usa "Y" para , "O" para , y "IMPLICA" para →. Por ejemplo, puedes escribir (pq) → (~r)     como     (p Y q) IMPLICA ~r

 

1. (rs)t	Premisa
2. (rs)→(qr)	Premisa
3. r~s	Premisa
4. rs	Premisa
5.	2, 4 Modus Ponens

En general, una regla de inferencia es sólo una instrucción para obtener proposiciones verdaderas adicionales de una lista de proposiciones verdaderas. Si estudiaras la lógica para especializarte en matemáticas o filosofía, esta podría ser la única regla de inferencia que te darián con la trabajarías. Tendrías que justificar entonces el uso de las otras reglas de inferencia de ésto. No vamos a ser tan exigentes. Daremos muchas reglas de inferencia con las que trabajarías desde el principio. Piensa en ellas como herramientas para construir nuevas proposiciones de las viejas; con más herramientas a tu disposición, la tarea se vuelve mas fácil. En realidad, vamos a permitirte utilizar cualquiera de las tautologías que aparece al final de la Sección 4 como reglas de inferencia. (Por eso enumeramos la "forma de argumento" para todos aquellos).

Ejemplo 2 Utilizar T1

Aplica Modus Tollens a las siguientes premisas:

1. (pq)→(r~s)

2. ~(r~s)

3. (pq)→p

Solución

Mirando las premisas, vimos el patrón:

1. A→B

2. ~B

3. A→C

Como una regla de inferencia, Modus Tollens tiene la forma siguiente:

A→B

~B



~A

(En palabras, si A→B aparece en la lista, y si ~B también aparece en la lista, podemos agregar ~A a la lista de proposisciones verdaderas).

Esto corresponde con las dos primeras premisas, por lo que podemos aplicar Modus Tollens para obtener lo siguiente.

1. (pq)→(r~s)	Premisa
2. ~(r~s)	Premisa
3. (pq)→p	Premisa
4. ~(pq)	1,2 Modus Tollens

Antes de seguir...

Utilizamos A→C para representar la proposición (pq)→p, aunque podríamos igualmente representarlo con D. Ya que no estamos utilizando esta proposición en absoluto, no importa cómo la representemos. Por otro lado, para poder utilizar Modus Tollens en las líneas (1) y (2), es imperativo que representemos la línea (1) por A→B, y no solo por la letra A. Si vez la forma del argumento del Modus Tollens, verás que se requiere una proposición de la forma A→B (además de ~B, por supuesto). Parte de aprender a aplicar las reglas de inferencia es aprender a analizar la estructura de las proposiciones al nivel correcto de detalles.

Ejemplo 2P Practica con T1

Vamos ampliar la lista del ejemplo 2 por aplicar primero la ley De Morgan a la línea (4), y luego aplicar la Simplificación, para obtener ~p. Debes rellenar la proposición que hacen falta. Para ingresar la proposición usa "Y" para , "O" para , y "IMPLICA" para →. Por ejemplo, puedes escribir (pq) → (~r)     como     (p Y q) IMPLICA ~r

1. (pq)→(r~s)	Premisa
2. ~(r~s)	Premisa
3. (pq)→p	Premisa
4. ~(pq)	1,2 Modus Tollens
5.	4 De Morgan
6. ~p	5 Simplificación

Antes de seguir...

Nota que acabamos de demostrar el argumento

(pq)→(r~s)

~(r~s)

(pq)→p

~p

Diremos más sobre las pruebas en la Sección 6.

Hasta el momento, todas las reglas de inferencia que nos hemos permitido usar provienen de nuestra lista de tautologías. Estos no son los únicos tipos de reglas de inferencia que permitiremos;. Aquí hay una regla adicional:

Ejemplo 3 Usar T2

Justifica cada paso en las siguientes proposiciones.

1. p→~(~p)

2. ~(~p)→p

3. p→p

Solución

Cada uno de los dos primeros pasos es una aplicación de la regla de inferencia T2. Recuerda que p~(~p) es una tautología, llamada Doble Negación. Nos permitimos romper equivalencias tautológicas en sus dos implicaciones tautológicas y escribir cualquiera de las dos. En este caso, escribimos a ambos. El tercer paso es la aplicación de la regla de inferencia T1, usando la transitividad. Ási, podemos escribir nuestras justificaciones como lo siguiente:

1. p→~(~p)	Doble Negación
2. ~(~p)→p	Doble Negación
3. p→p	1,2 Transitividad

Antes de seguir...

Lo que hemos escrito a arriba es una prueba del siguiente argumento, en lo que no hay premisas:

-

p→p

Nota que estamos permitiéndonos romper una implicación taotológica de la forma AB en dos proposiciones: A→B y B→A. En otras palabras, cada equivalencia tautológica realmente nos da dos implicaciones tautológicas por el precio de uno. Por eso pusimos dos formas argumental en la lista para la mayor parte de las equivalencias.

Ejemplo 3P Practica con T2

Selecciona las respuestas correctas en los siguientes argumentos

1. q	Premisa
2. p→(p~q)	Adición	T1 T2
3.~p(p~q)	Switcheroo	T1 T2
4.(~pp) ~q	Asociatividad	T1 T2
5.~pp	Silogismo Disyuntivo	T1 T2

Reglas T1 y T2 son los dos que vamos a utilizar más frecuentemente. Los dos siguientes se usan con menos frecuencia, pero a veces son necesarios.

Por ejemplo, podemos remplazar la proposición p→[~(qr)] por p→[(~q)(~r)] usando la ley De Morgan, ya que ~(qr)(~q)(~r).

Como con T2, usamos la lista final de la sección anterior para decidir cuales proposiciones son tautológicamente equivalentes. Nota que esto es lo mismo que la regla matemática de sustitución: En cualquier ecuación, si parte de una exprección es igual a otra, entonces la podemos remplazar por la otra expreción.

Ejemplo 4 Usar la Sustitución

Justifica el tercer y cuarto pasa en las pruebas siguientes.

1. ~(~p)→q	Premisa
2. p	Premisa
3. p→q
4. q

Solución

La tercera línea es semejante a la primera salvo que ~(~p) ha sido remplazada por p. Pero, que la sustitución puede justificarse por la regla de sustitución porque la tautología de doble negación nos dice que p es una equivalencia tautológica para ~(~p). Para obtener al cuarta línea simplemente aplicamos el Modus Ponens para la segunda y la tercer líneas. Así, podemos llegar a las siguientes justificaciones.

1. ~(~p)→q	Premisa
2. p	Premisa
3. p→q	1, Substitución
4. q	2, 3 Modus Ponens

Esto es sólo el hecho obvio de que, si ya sabemos que A y B son verdaderas, entonces sabemos que AB es verdad.

Q Are we done yet?
A no completamente. Lo que estamos asiendo es dar reglas para escribir en la prueba de un argumento dado. Ya hemos estado utilizando una regla sin decirlo, y debemos escribirla:

Por supuesto, Esto no nos da derecho a hacer de premises a medida que avanzamos; siempre nos dirán que el premises antes de empezar, y la regla P se aplica solo a aquellos. Es tradicional, pero no necesario, para escribir todos los premises como las primeras líneas de una prueba. Por otro lado, algunas personas sólo les gusta escribirlo a medida que sea necesario.

En resumen, aquí están todas las reglas de inferencia que vamos a utilizar.

En la siguiente prueba bastante difícil, empezamos con dos premises, y gestionará a utilizar cada regla de inferencia excepto para T2:

Ejemplo 5 Usar la regla de Inferencia

A continución una prueba del argumento

a→q

b→q

(ab)→q

En palabras, si a y b cada una implica q, entonces a o b implica q. Aunque esto parece intuitivamente obvio, ¡su prueba no es!

Aquí está la prueba. Completa las justificaciones que falta.

1. a→q	Premisa
2. b→q	Premisa
3. ~aq
4. ~bq
5. (~aq)(~bq)
6. (~a~b)q
7. ~(ab)q
8. (ab)→q

Solución

Aquí están las justificaciones, con el tipo de regla de inferencia anotado después de cada uno:

1. a→q	Premisa (P)
2. b→q	Premisa (P)
3. ~aq	1, Switcheroo (T1)
4. ~bq	2, Switcheroo (T1)
5. (~aq)(~bq)	3,4 Conjuncción (C)
6. (~a~b)q	5, Ley Distributiva   (T1)
7. ~(ab)q	6, De Morgan (S)
8. (ab)→q	7, Switcheroo (T1)