Prueba de la Regla de la Cadena
Para
Cálculo Aplicado (3e)

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La regla de la cadena

Si la función $f$ tiene derivada $f'$ y la función $u$ tiene derivada $\frac{du}{dx},$ entonces la función compuesta $f(u)$ es diferenciable, y

    $\frac{d}{dx} [f(u)] = f'(u) \frac{du}{dx}.$

 
Prueba Por la definición de la derivada,

Por lo tanto,

Si tomamos $v$ a ser la cantidad

entonces $v \to 0$ cuando $h \to 0.$ Si solucionamos esta ecuación para $u(x+h),$ obtenemos

donde $v \to 0$ cuando $h \to 0$

Ahora lo mismo es verdad para $f:$ Toma $w$ hacer la cantidad

(Ten en cuenta que $w$ es una función de $k$ que se define por valores de $k,$ cercanos o igual a $0$). Entonces

si o no $k = 0,$ y donde $w \to 0$ cuando $k \to 0.$

Lo que buscamos es la derivada de $f(u(x)).$ Por lo tanto tenemos que calcular el límite de

Primero vemos el numerador: $f(u(x+h)) - f(u(x)).$ Si utilizamos la fórmula (I) para sustituir por $u(x+h)$ obtenemos

Ahora usamos la fórmula (II) para reescribir $f [u(x) + (u'(x) + v)h]:$

Observa que, cuando $h \to 0,$ también lo hace la cantidad en la ecuación (IV), y por lo tanto también lo hace la cantidad $w,$ por (II). (Vamos a utilizar este hecho a continuación).

Restando $f(u(x))$ de ambos lados nos da (IV) da

Juntando (III) y (V) ahora dan

Esto es el numerador de la expresión que buscamos. Dividiendo por $h$ da

Ahora deja $h \to 0$. Ya que ambos $v$ y $w \to 0$ (ve más arriba la razón por la que $w \to 0$), obtenemos

que es la regla de la cadena.