Prueba de la Regla de Cociente
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Cálculo Aplicado al Mundo Real

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La Regla del Cociente

Si las funciones $f$ y $g$ son diferenciables en $x,$ con $g(x) ≠ 0,$ entonces el cociente $\frac{f}{g}$ es diferenciable en $x,$ y

    $\frac{d}{dx}\ \Bigl\[ \frac{f}{g} \Bigr\]\ (x) = \frac{f^{'} (x) g(x) - f(x) g^{'}(x)}{[g(x)]^2.}$

 
PruebaPor la definición de la derivada,

Si reconocemos los cocientes de la diferencia para $f$ y $g$ en esta última expresión, vemos que tomar el limite cuando $h \to 0$ remplaza estos cocientes con las derivadas $f^{'}(x)$ y $g^{'}(x).$ Además, ya que $g$ es diferenciable, también es continua, y por lo tanto $g(x+h) \to g(x)$ cuando $h \to 0.$ Poniendo todo esto junto obtenemos

que es la regla del cociente.