Dos Límites Trigonométricos
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Mostraremos los dos resultados
| 1. $\lim_{h \to 0} \frac{\sen h}{h} = 1$
2. $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ |
Prueba (1)
Primero echa un vistazo al siguiente diagrama, que muestra tres áreas ordenadas por orden de magnitud.
El área sombreado del lado izquierda (el más pequeño de los tres) es un triangulo con una altura de $\sen h$ y una base de $\cos h.$ Por lo tanto, su área es $\frac{(\cos h)(\sen h)}{2}.$
El área sombreada en color rosa (el mediano) es un segmento circular que compromete la fracción $\frac{h}{2π}$ del disco entero. Ya que el área de un disco de radio $1$ es $π,$ el área en cuestión es
$\frac{h}{2π}\ .\ π = \frac{h}{2}$
El área sombreada a la derecha (la mayor de las tres) es un triángulo con una altura de $\sen h$ y una base de $1.$ Por lo tanto, su área es $\frac{(1)(\tan h)}{2} = \frac{\tan h}{2}.$
Sustituyendo estas tres áreas nos da la desigualdad
$\frac{\cos h\ \ \sen h}{2}\ ≤\ \frac{h}{2}\ ≤\ \frac{\tan h}{2}.$
Escribir $\tan h$ como el cociente de $\frac{\sen h}{\cos h}$ ahora da
$\frac{\cos h\ \ \sen h}{2}\ ≤\ \frac{h}{2}\ ≤\ \frac{\sen h}{2\cos h}.$
Multiplicando por $\frac{2}{\sen h}$ ahora da
$\cos h\ ≤\ \frac{h}{\sen h}\ ≤\ \frac{1}{\cos h}.$
A continuación toma recíprocos y revierte las desigualdades para obtener
$\frac{1}{\cos h}\ ≥\ \frac{\sen h}{h}\ ≥\ \cos h.$
Finalmente, deja que $h$ se aproxime a cero. Cuando lo hace, las cantidades en cualquiera de los extremos se acercan a $1.$ Por lo tanto, ya que el cociente $\frac{\sen h}{h}$ se intercala entre dos cantidades que se aproximan a $1,$ también se aproxima a $1.$
Ahora hemos terminado con el primer límite que nos comprometimos a calcular.
Prueba (2)
Para el segundo límite, utilizamos una identidad trigonométrica y un poco de álgebra:
| $\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h}$
| $=$ |
$\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h}\ .\ \frac{1 + \cos h}{1 + \cos h}$ |
|
$=$ |
$\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos^2 h}{h(1 + \cos h)}$ |
|
$=$ |
$\lim_{h \to 0} \frac{\sen^2 h}{h(1 + \cos h)}$ |
(utilizando la identidad $\sen^2 h + \cos^2 h = 1)$ |
|
$=$ |
$\lim_{h \to 0} \frac{\sen h}{h}\ .\ \frac{\sen h}{1 + \cos h}$ |
El primer término de este producto es el límite que calculamos anteriormente, y tiene el valor de $1.$ El segundo termino se aserca a $\frac{0}{(1+1)} = 0.$ Por lo tanto, el producto se acerca a $(1)(0) = 0,$ según sea necesario.
