Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

4.3 Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

(Se puede encontrar esta tema en Sección 4.3 del libro Applied Calculus o Sección 11.3 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

Derivadas de funciones logarítmicas

Las derivadas de las funciones logarítmicas se expresa como sigue:

Derivada de log_b y ln

\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\.\ln b}

Un caso especial y importante:

\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x\.\ln e} = \frac{1}{x}

Porque \ln e = 1

Ejemplos rápidos

\frac{d}{dx} \log_3(x) = \frac{1}{x\.\ln 3}

\frac{d}{dx}[4\.\ln x] = 4\frac{d}{dx}[\ln x] = 4\frac{1}{x} = \frac{4}{x}

\frac{d}{dx}[4\.\log_3(x)] = 4\frac{d}{dx}[\log_3(x)] = 4\frac{1}{x\.\ln 3} = \frac{4}{x\.\ln 3}

\frac{d}{dx}[x^2\ln x] = 2x\.\ln x + x^2\frac{1}{x} = 2x\.\ln x + x

Por la regla del producto

P ¿De dónde viene estas formulas?
R Para derivaciones de estas formulas, se puede consultar Sección 4.3 del libro Cálculo Aplicado, o Sección 11.3 de Matemáticas finitas y Cálculo Aplicado.

(x²+3x)ln x = ?

2x+3

(2x+3)ln(1/x)

(2x+3)ln x + x + 3

(2x+3)ln x + (x²+3x)ln(1/x)

Here are more for you to try.

Note Use graphing calculator format to input your answers (spaces are ignored). Here are some examples of expressions involving logarithms and exponentials:

Mathematical Expression

Input Formula

ln x

ln(x)

x ln x

x*ln(x)

ln(e^x + 1)

ln(e^x + 1)

log₃x

ln(x)/ln(3)

log₃(x+1)

2x²

ln(x+1) / ( ln(3) * 2*x^2 )

P ¿De dónde viene estas formulas?
R Para derivaciones de estas formulas, se puuede consultar Sección 4.3 del libro Cálculo Aplicado, o Sección 11.3 de Matemáticas finitas y Cálculo Aplicado.

P Ahora sabemos diferenciar expresiones que contienen el logaritmo de x. ¿Qué tal el logaritmo de una candidad más complicada, como por ejemplo ln(x²-3x+2)?
R Para diferenciar algo así, necesitamos usar la regla de la cadena. Aquí es una lista de expreciones en las que usamos la regla de la cadena, incluyendo algunas que se tratan el logaritmo de una cantidad.

Regla original

Regla generalizada
(Regla de la cadena)

Notas

f(x) = g(x)

f(u) = g(u)

Forma general de la regla de la cadena

xⁿ = nx^n-1

uⁿ = nu^n-1

Regla generalizada de potencias

4x^-1/2 = -2x^-3/2

4u^-1/2 = -2u^-3/2

Un ejemplo de la regla más arriba

sin x = cos x

sin u = cos u

¡Lleveme al texto sobre los funciones trig!

ln x

ln (u)

La derivada del logaritmo natural de una cantidad es el
recíproco de aquel cantidad, por la derivada de aquel cantidad.

log_b(x)

x ln(b)

log_b(u)

u ln(b)

Uno para usted:

ln(x²+2x-1) = ?

2(x+1)

x²+2x-1

2(x+1)

ln (2x + 2)

2(x+1)

ln(x²+2x-1)

ln(3x+2)

3x+2

= ?

	1 3x+2			3(1 - ln(3x+2)) (3x+2)²
	1 x			1 - 3ln(3x+2) (3x+2)²

Derivada del Log del valor absoluto

Sucede algo curioso cuando tomamos la derivada del logaritmos del valor absoluto de x:

\frac{d}{dx} \ln \|x\|	=	\frac{1}{\|x\|} \frac{d}{dx} \|x\|	Por la regla de la cadena más arriba
	=	\frac{1}{\|x\|} \frac{\|x\|}{x}	La derivada de \|x\| es \|x\|/x
	=	\frac{1}{x}	Exactamente la misma que la derivada de ln x!

En otras palabras, reempelzando x por el valor absoluto de x no afecta en absoluto la derivada del logarítmo natural. En forma parecida, no tiene efecto en la derivada del logarítmo de x a cualquier base, o el logarítmo de cualquier cantidad. Ejemplo:

\frac{d}{dx}\ln|3x^2-x| = \frac{1}{3x^2-x}(6x-1) = \frac{6x-1}{3x^2-x}

¡como si no fuera el valor absoluto! Por lo tanto, las respuestas de todas las preguntas más arriba con with "ln (--) reemplezado por "ln |--|" son exactamente lo mismo. Vea el libro de texto Cálculo Aplicado para ver más detalles.

Derivadas de funciones exponenciales

Las derivadas de las funciones exponenciales se expresa como sigue:

Derivada de b^x y e^x

\frac{d}{dx} b^x = b^x \ln b

Un caso especial y importante:

\frac{d}{dx} e^x = e^x

Ejemplos

\frac{d}{dx}[3^x] = 3^x \ln 3

\frac{d}{dx}[2e^x] = 2\frac{d}{dx}[e^x] = 2e^x

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2x\.e^x + x^2e^x = e^x(2x + x^2)

Por la regla del producto

P ¿De dónde viene estas formulas?
R Consulte Sección 4.3 d del libro Cálculo Aplicado, o Sección 11.3 de Matemáticas finitas y Cálculo Aplicado.

Estas formulas nos permiten desallorar más nuestra tabla de derivadas en las que usamos la regla de la cadena:

Regla original

Regla generalizada
(Regla de la cadena)

Notas

f(x) = g(x)

f(u) = g(u)

Forma general de la regla de la cadena

xⁿ = nx^n-1

uⁿ = nu^n-1

Regla generalizada de potencias

4x^-1/2 = -2x^-3/2

4u^-1/2 = -2u^-3/2

Un ejemplo de la regla más arriba

sin x = cos x

sin u = cos u

¡Lleveme al texto sobre los funciones trig!

ln x

ln (u)

La derivada del logaritmo natural de una cantidad es el
recíproco de aquel cantidad, más la derivada de aquel cantidad.

log_b(x)

x ln(b)

log_b(u)

u ln(b)

e^x

e^u

la derivada de e elevada a una cantidad es e elevada a
aquel cantidad, por la derivada de aquel cantidad.

b^x

b^x ln(b)

b^u

b^u ln(b)

Ejemplos rápidos

\frac{d}{dx}[e^{-x}] = e^{-x}\frac{d}{dx}[-x] = -e^{-x}
\frac{d}{dx}[e^{3x²-x}] = e^{3x²-x}\frac{d}{dx}[3x²-x] = (6x-1)e^{3x²-x}

Si desidere imprimir la tabla más arriba, pulse aquí para abrir una nueva página que se muestra solo la tabla.

Q d

dx [ e^4x²-2 ] = ?

	8x e^4x²-2			e^8x
	(4x²-2)e^4x²-3			e^4x²-2

En el proximo concurso todas las opciones fueron respuestas reales presentadas por alumni durante una prueba. ¡Solo una es correcto!

P d

dx e^x - e^-x

e^x + e^-x ?

(1-1/x)(e^x+e^-x) - (e^x-e^-x)(1+1/x)

(e^x+ e^-x)²

e + e^-1

e - e^-1

(e^x+ e^-x)²

e^x + e^-x

e^x- e^-x

Puede probar algunos ejercicios sobre esta tema aqui. O bien, prueba algunos ejercicios en Sección 4.3 en el libro Applied Calculus (o Sección 11.3 en Finite Mathematics and Applied Calculus).

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\frac{d}{dx} \ln \|x\|	=	\frac{1}{\|x\|} \frac{d}{dx} \|x\|	Por la regla de la cadena más arriba
	=	\frac{1}{\|x\|} \frac{\|x\|}{x}	La derivada de \|x\| es \|x\|/x
	=	\frac{1}{x}	Exactamente la misma que la derivada de ln x!