Uso de matrices para solucionar sistemas lineales

Este tutorial: Parte A: La matriz de un sistema y operaciones de renglón

En el tutorial anterior hablamos de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Aquí generalizamos a cualquier número de incógnitas y tambíen describimos una otra manera de solucionar tales sistemas.
Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal con n incógnitas x_1, x_2, ..., x_n tiene la forma

    a_1x_1 + ... + a_nx_n = b        (a_1, a_2, ..., a_n constantes)
Los números a_1, a_2, ..., a_n son las coeficientes y b es el termino constante, o el lado derecho.

Nota Frecuentemente llamamos a los incógnitos x, y, z, ... en vez de x_1, x_2, ..., x_n cuando es conveniente.

Ejemplos:
    Dos incógnitos:     4x - 5y = 0 a_1 = 4, a_2 = -5, b = 0
    Tres incógnitos:     -4x + y + 2z = -3 a_1 = -4, a_2 = 1, a_3 = 2, b = -3
    Cuatro incógnitos:     3x_1 + x_2 - x_3 + 11x_4 = 5 a_1 = 3. a_2 = 1, a_3 = -1, a_4 = 11, b = 5
La forma matriz de una ecuación lineal

La forma matriz de la ecuación a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b es la matriz renglón [a_1  a_2  ...  a_n  b].

Ejemplos:
    4x - 5y = 0;     (Incógnitos: x, y)      Forma matriz: [4   -5   0]
    4x = -3    (Incógnitos: x, y)      Forma matriz: [4   0   -3] 4x + 0y = -3
    2x - z = 0    (Incógnitos: x, y, z) Forma matriz: [2   0   -1  0] 2x + 0y - z = 0

    (Incógnitos: x, y)
    Forma matriz:
       
                           

    (Incógnitos: x, y)
    Forma matriz:
       
                           

    (Incógnitos: x, y, z)
    Forma matriz:
       
                           
La forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales; matriz ampliada

Cuando tenemos un sistema a dos o más ecuaciones lineales con los mismos incógnitos, entonces la matriz ampliada o la matriz aumentada del sistema es la matriz cuyos renglones son las formas matriz de las ecuaciones individuales. (Se llama "ampliada" porque incluye los lados derechos de las ecuaciones en su última columna.)

Ejemplos:
Sistema de ecuaciones
Matriz ampliada
x - 2y =5
3x        =9
 
  1  
-2
  5  
 
3
0
9
               
 
 
               
   
                       
 
 
                       
   
 
   
   

     
 

 

Operaciones de renglón

Aquí están tres cosas que se puede hacer sin afectar la solución;

Correspondiente a estos cambios son las siguientes operaciones de renglón en una matriz ampliada.

Operación de renglón
Ejemplo
1. Intercambiar dos renglones
Escribimos R_iR_j para significar "Intercambie Renglón i y Renglón j."
 
 1 
-2
 5 
 
3
0
9


R1R2
 3 
 0 
 9 
1
-2
5
2. Multiplicar un renglón por un número a distinto de cero
Escribimos a\.R_i a lo lado del io renglón para significar "Multiplique Renglón i por a."
Para multiplicar Renglón 2 por 5, Escribimos la instrucción 5\.R_2 a lo lado de Renglón 2.
 1 
-2
 5 
3
0
9
5R2
 1 
-2
 5 
15
0
45
3. Reemplazar un renglón por una combinación con un otro renglón
Escribimos a\.R_i ± b\.R_j a lo lado del io renglón para significar "Reemplace Renglón i por a veces Renglón i más or menos b veces Renglón j".
Escribimos la instrucción 2R1-3R2 a lo lado de Renglón 1 para significar:" Reemplace Renglón 1 por dos veces Renglón 1 menos tres veces Renglón 2."
Es decir:
"Dos veces el renglón superior menos tres veces el renglón inferior."
 1 
-2
 5 
2R1-3R2
3
0
9
-7
-4
-17
3
0
9

Pulse aquí para ver como lo obtenemos.

 

Realice las indicadas operaciones de renglones y pulse

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Ultima actualización: octubre, 2009
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