Funciones cuadráticas y sus gráficas
Una función cuadrática es una función de la forma
$f(x)=ax^2+bx+c \qquad (a \neq 0)$.
Su gráfica se llama una parábola.
El vértice de este parábola se ocurre al punto de la gráfica con coordenada $x$ dado por
$x = -\frac{b}{2a} \qquad $ Vértice
Cruza el eje $y$ (intersección en $y$) en
$y = c \qquad $ Intersección en y
Cruza el eje $x$ (intersección en $x$) en la(s) soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c = 0$ (si hay soluciones) dodo por
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \qquad $ Interseccion(es) en x
Es simétrica respecto a la recta vertical por el vértice.
Si es positivo el coeficiente $a$ de $x^2$, es cóncava hacia arriba (como en la figura debajo cuando pulsas "$a > 0$"). Si es negativo el coeficiente $a$, es cóncava hacia abajo (como en la figura debajo cuando pulsas "$a < 0$").
Ejemplos: Funciones cuadráticas y sus gráficasFunción cuadrática La función
Parábola La curva
$y=x^2-2x-8$
es una parábola con el vértice en
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1.$
La coordenada-$y$ del vértice es
$y = (1)^2 - 2(1) - 8 = -9.$
La intersección en $y$ es $c = -8$ y los intersecciones en $x$ son las soluciones de
$x^2 - 2x - 8 = 0$ $(x+2)(x-4) = 0$,
por lo que $x = -2$ y $4$. su gráfica se muestra aquí:
Práctica:
Leyes de los exponentes
Si $b$ y $c$ son positivas, y si $x$, $y$ son números reales cualesquiera, se cumplen las siguientes leyes:
Funciones exponenciales
Una función exponencial es una función de la forma
$f(x) = Ab^x$,
en la que $A$ y $b$ son constantes y $b \gt 0$.Al número $b$ se llama la base de la función exponencial.Papel de b
Un aumento de 1 unidad en $x$ tiene el efecto de multiplicar $f(x)$ by $b$.
Un aumento de 2 unidades en $x$ tiene el efecto de multiplicar $f(x)$ by $b^2$.
...
En general, un aumento de $\Delta x$ unidades en $x$ tiene el efecto de multiplicar $f(x)$ by $b^{\Delta x}$.
Papel de A
$f(0) = A$, por lo que $A$ es la intersección en $y$ de la gráfica de $f$.
Ejemplos: Funciones exponenciales
La función $f(x) = 3(2^x)$ es una función exponencial con $A = 3$ y $b = 2$. Algunas valores de $f$ se muestra en la siguiente tabla:
Su gráfica es la siguiente:
Práctica:
Interés compuesto
Si se invierte una cantidad $P$ (el valor actual) durante $t$ años a una tasa anual de interés $r$, compuesto $m$ veces por año, el valor acumulado (valor futuro) de la inversión después de $t$ años es
$F(t) = P\left\[1+\frac{r}{m}\right\]^{mt}$.
Esta es una función exponencial de $t$ de la forma $F(t) = Ab^t$ ya que puede ser escrita como
convergen al número
e = 2.71828182845904523536... a medida que $m$ se hace más y más grande. La siguiente tabla muestra el valor de $\left(1+\frac{1}{m}\right)^m$ para algunos valores de $m$.
Ejemplo: El número e
Ingresa tu propia valor de $m$ y pulsa "Calcular". (Observarás que valores más grande de alrededor 100,000,000 par $m$ causarán errores computacionales --- ¡Experimenta!))
$m = $
$\left(1+\frac{1}{m}\right)^m = $
Interés compuesto continuamente
El número $e$ aparece en la fórmula para interés compuesto continuamente: Si se invierte una cantidad $P$ (el valor actual) durante $t$ años a una tasa anual de interés $r$, compuesto continuamente, el valor acumulado (valor futuro) de la inversión después de $t$ años es
$F(t) = Pe^{rt}$.
La tasa de interés efectiva (anual) del compuesto continuo se da por
$r_e = e^r - 1$.
Ejemplos: Interés compuesto continuamente
Si se invierte \$10,000 a una tasa de interés anual del 4.8% compuesto en continuamente, la cantidad acumulad después de $t$ años será
$A = 10\,000e^{0.048t}$
La tasa de interés efectiva anual es
$r_e = e^{0.048} - 1 \approx 0.04917$,
es decir 4.917% al año.
Logaritmos
La declaración:
$\log_bx = y$ El logaritmo de x base b es igual a y
significa
$b^y = x.$
Nota:
$\log_{10}x$ a menudo se escribe como $\log x$, y se llama el logaritmo común de $x.$
a menudo se escribe como $\ln x$, y se llama el logaritmo natural o logaritmo neperiano de $x.$
Ejemplos: Logaritmos
La siguiente tabla presenta algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logarítmicas equivalentes:
Práctica:
Identidades de los logaritmos
Las siguientes identidades son válidas para todas las bases positivas $b \neq 1$ y todos los números positivos $x, y.$ :