Resumen del tema: Funciones y modelos no lineales

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Relación entre las funciones f(x) = log_ax y g(x) = a^x

Si $a$ es cualquier número positivo, entonces las funciones $f(x) = \log_ax$ y $g(x) = a^x$ son funciones inversas.

Esto significa que

$a^{\log_ax} = x$ y $\log_a(a^x) = x$ para cada número real $x.$

¿Quieres aprender más sobre las funciones inversas? Va al texto en línea: Funciones inversas.

Ejemplo: Relación entre las funciones f(x) = log_ax y g(x) = a^x

$2^{\log_2x} = x$		$\log_2(2^x) = x$
$e^{\ln x} = x$		$\ln (e^x) = x$

Crecimiento exponencial

Un modelo de crecimiento exponencial tiene la forma:

(k, Q₀ ambas positivas)

$Q_0$ representa el valor de $Q$ en el instante $t = 0$, y $k$ es la constante de crecimiento. El tiempo de duplicación $t_d$ de una sustancia experimentando crecimiento exponencial es el tiempo que tarda la cantidad de sustancia en doblarse. El tiempo de duplicación es independiente de la cantidad inicial $Q_0$ de la sustancia.

La constante de crecimiento $k$ y el tiempo de duplicación $t_d$ son relacionados por la ecuación

$t_dk = \ln 2.$

Ejemplos: Crecimiento exponencial

$P(t) = 10\,000e^{0.5t}$ es el valor de una cuenta después de $t$ años si se invierte \$10,000 a una tasa anual de interés de 5% compuesto en la forma continua.

Si $k = 0.0123$ por año, entonces $t_d(0.0123) = \ln 2,$ por lo que el tiempo de duplicación es $t_d = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{0.0123} \approx 56.35$ años.

Práctica:

Disintegración exponencial

Un modelo de disintegración exponencial (también llamado decrecimiento exponencial o decaimiento exponencial) tiene la forma:

(k, Q₀ ambas positivas)

$Q_0$ representa el valor de $Q$ en el instante $t = 0$, y $k$ es la constante de disintegración. La media vida $t_d$ de una sustancia experimentando disintegración exponencial es el tiempo que tarda la mitad de la sustancia en desintegrarse. Al igual que el tiempo de duplicación para el crecimiento exponencial, la vida media es independiente de la cantidad inicial $Q_0$ de la sustancia.

La constante de disintegración $k$ y el tiempo de duplicación $t_d$ son relacionados por la ecuación

$t_hk = \ln 2.$

Ejemplos: Disintegración exponencial

$Q(t) = Q_0e^{-0,000120968t}$ es la función de desintegración para carbono 14.

Si $k = 0.0123$ por año, entonces $t_h(0.0123) = \ln 2,$ por lo que la vida media es $t_h = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{0.0123} \approx 56.35$ años.

Práctica:

Funciones logísticas

Una función logística tiene la fgorma

$f(x) = \frac{N}{1 + Ab^{-x}}$ para constantes dadas $A$, $N$, y $b$ ($b > 0$ y $b \neq 1$).

Propiedades de la curva logística:

La gráfica es una curva en forma de S encajonado entre las rectas horizontales $y = 0$ e $y = N.$ A $N$ se le llama el valor limitante de la curva logística.
Si $b \gt 1$, la gráfica sube; si $b \lt 1,$ la gráfica baja.
La intersección-$y$ es $\frac{N}{1 + A}$.
Papel de $b$: Para valores pequeños de $x$, la función es aproximadamente exponencial con base $b$:
.

$b \gt 1$

$b \lt 1$

Ejemplos: Funciones logísticas

$N = 50, A = 24, b = 3$ dan

50/(1+24*3^(-x))

La siguiente figura muestra la gráfica de $f$ junto con la aproximación exponencial:

Curva logística: 50/(1+24*3^(-x))
Curva exponencial: 2*3^x

Práctica: