Derivadas de potencias, sumas, y múltiplos constantes
Regla de potencias
La
regla de potencias nos dice cómo tomar la derivada de cualquier potencia de $x$:
Si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$.
Esta fórmula es valido para cualquier constante potencia $n$. En la notación diferencial, se escribe
$\dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$.
Reglas de sumas y múltiplos constantes
Si $f'(x)$ y $g'(x)$ existen, y $c$ es constante, entonces
$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) \qquad$ |
$[cf(x)]' = cf'(x) \qquad$ |
En palabras
Ejemplos: Derivadas de potencias, sumas, y múltiplos constantes
$\displaystyle \frac{d}{dx}[x^{3.2}]$ | ${}=3.2x^{2.2}$ |
|
$\displaystyle \frac{d}{dx}[4x^{-1}]$ | $\displaystyle {}=4\frac{d}{dx}[x^{-1}]$ |
| ${}= 4(-1)x^{-2}$ |
| ${}= -4x^{-2}$ |
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$\displaystyle \frac{d}{dx}[3x^{1.1}+4x^{-2}]$ | $\displaystyle {}=\frac{d}{dx}[3x^{1.1}]+\frac{d}{dx}[4x^{-2}]$ |
| $\displaystyle {}=3\frac{d}{dx}[x^{1.1}]+4\frac{d}{dx}[x^{-2}]$ |
| ${}= 3(1.1)x^{0.1}+4(-2)x^{-3}$ |
| ${}= 3.3x^{0.1}-8x^{-3}$ |
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|
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]$ | $\displaystyle {}=\frac{d}{dx}[x^{-1}]$ |
| $\displaystyle {}=(-1)x^{-2}$ |
| $\displaystyle {}= -\frac{1}{x^2}$ |
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$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\sqrt{x}\right]$ | $\displaystyle {}=\frac{d}{dx}[x^{1/2}]$ |
| $\displaystyle {}=\frac{1}{2}x^{-1/2}$ |
| $\displaystyle {}= \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Práctica:
Práctica:
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Aplicación: Análisis marginal
Si $Q(x)$ se representa cualquier cantidad como costo, ingreso, utilidad, o pérdida por la venta de $x$ artículos, entonces $Q'(x)$ se llama la cantidad
marginal. Entonces, por ejemplo, el costo marginal mide la tasa de cambio del costo (el costo aproximado del siguiente artículo).
El costo marginal es distinto del
costo promedio, que mide el promedio de los $x$ primeros artículos. El costo promedio se da por
$\bar{C}$ | $\displaystyle {}=\frac{C(x)}{x}$ |
| $\displaystyle {}=\frac{\text{Costo total}}{\text{Número de artículos}}$ |
Visualizar costo promedio y marginal
Ejemplos: Aplicación: Análisis marginal
Supón que el costo de los primeros $x$ artículos es
$C(x) = 4x^{0.2}- 0.1x$ €.
entonces el costo marginal es
$C'(x) = 0.8x^{-0.8}- 0.1$ € por artículo.
En particular, $C'(3) = 0.8(3)^{-0.8}- 0.1 \approx 0.23$ €/artículo es el costo aproximado del cuarto artículo. Por otra parte,
$\displaystyle \bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{4x^{0.2}- 0.1x}{x} = 4x^{-0.8}- 0.1$ € por artículo.
En particular, $\bar{C}(3) = 4(3)^{-0.8} - 0.1 \approx 1.56$ €/artículo es el costo promedio de los primeros tres artículos.
Práctica:
Derivadas de productos y cocientes
Regla del producto
Si $f$ y $g$ son funciones diferenciables de $x$, entonces también lo es su producto $fg$, y
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = \color{#ff504d}{f'(x)}g(x) + f(x)\color{#ff504d}{g'(x)}.$
Regla del producto en palabras
Regla del cociente
Si $f$ y $g$ son funciones diferenciables de $x$, entonces también lo es su cociente $f/g$, y
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{\color{#ff504d}{f'(x)}g(x) - f(x)\color{#ff504d}{g'(x)}}{[g(x)^2]}.$
Regla del cociente en palabras
Ejemplos: Derivadas de productos y cocientes
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^2(3x-1)\right] = \color{#ff504d}{2x}(3x-1) + x^2(\color{#ff504d}{3}) \qquad$
(Las derivadas de $f$ y $g$ son mostradas
en color.)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{x^3}{x^2+1}\right] = \frac{\color{#ff504d}{3x^2}(x^2+1) + x^3(\color{#ff504d}{2x})}{(x^2+1)^2} \qquad$
¡Por supuesto deberías simplificar las respuestas y no las dejar así!
Práctica:
Combinando las reglas: Experimento mental de cálculo
El
experimento mental de cálculo (EMC) es una técnica para determinar si se trata una expresión algebraica como un producto, cociente, suma, o diferencia. Dada esa expresión, se considera los pasos que usaría en calcular su valor. Si la última operación es la multiplicación, trata la expresión como un producto; si la última operación es la división, trata la expresión como un cociente, y así sucesivamente.
Usando el experimento mental de cálculo (EMC) para diferenciar una función
Si el EMC dice, por ejemplo, que la expresión es una suma de dos expresiones más pequeñas, entonces aplica la regla para sumas como primer paso. Esto te dejará tener que diferenciar las expresiones más pequeñas, y puedes usar el EMC en éstas, y así sucesivamente...
Ejemplos: Combinando las reglas: Experimento mental de cálculo
1. $(3x^2- 4)(2x+1)$ puede calcularse primero calculando las expresiones entre paréntesis y luego multiplicándolas. Como el último paso es
multiplicación, podemos tratar la expresión como un
producto.
2. $\dfrac{2x-1}{x}$ puede calcularse calculando primero el numerador y el denominador por separado, y luego dividiendo uno por el otro. Como el último paso es
división, podemos tratar la expresión como un
cociente.
3. $(4x-1)(x+2) + x^2$ puede calcularse calculando el producto $(4x-1)(x+2)$, luego calculando $x^2$, y finalmente sumando las dos respuestas. Como el último paso es
sumar, podemos tratar la expresión como una
suma.
4. $(3x^2-1)^5$ puede calcularse calculando la expresión entre parénteses, y luego elevar la respuesta al quinto potencia. Como el último paso es
elevar a una potencia, podemos tratar la expresión como una
potencia. Derivadas de potencias de funciones aparte de $x$ se encuentra el la siguiente parte de este resumen.
Práctica: