Regla de la cadena
Si $f$ es una función diferenciable de u y u, a su vez, es una función diferenciable de $x$, entonces la función compuesta $f(u)$ es una función diferenciable de $x$, y además
$\displaystyle \frac{d}{dx}[f(u)] = f\prime(u)\frac{du}{dx}$
Regla de la cadena en palabras
Por ejemplo, si $f(u) = u^{0.5}$, entonces
$\displaystyle \frac{d}{dx}[u^{0.5}] = 0.5u^{-0.5}\frac{du}{dx}$
Reglas generalizadas de derivadas
Como se ilustran los ejemplos a continuación, para cada función cuya derivada conocemos, obtenemos una regla "generalizada" correspondiente:
Ejemplos: Regla de la cadena
| $\displaystyle \frac{d}{dx}[\color{indianred}{(1+x^2)}^3]$ | $\displaystyle {}=3\color{indianred}{(1+x^2)}^2\frac{d}{dx}\color{indianred}{(1+x^2)}$ |
| $\displaystyle {}=3(1+x^2)^22x$ |
| $\displaystyle {}=6x(1+x^2)^2$ |
| |
| $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2}{\color{indianred}{(x+x^2)}}\right]$ | $\displaystyle {}=\frac{d}{dx}2\color{indianred}{(x+x^2)}^{-1}]$ |
| $\displaystyle {}=-\color{indianred}{(x+x^2)}^{-2}\frac{d}{dx}[\color{indianred}{(x+x^2)}$ |
| $\displaystyle {}=-(x+x^2)^{-2}(1+2x)$ |
| $\displaystyle {}=-\frac{(1+2x)}{(x+x^2)^{2}}$ |
| |
| $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\sqrt{\color{indianred}{x^2}}\right]$ | $\displaystyle {}=\frac{1}{2\sqrt{\color{indianred}{x^2}}}\frac{d}{dx}\color{indianred}{(x^2)}$ |
| $\displaystyle {}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}$ |
| $\color{indianred}{\sqrt{x^2}}$ $\color{indianred}{(x^2)^{1/2}}$ |
| $\color{indianred}{\sqrt{x^2} = |x|}$,
|
| $\displaystyle \frac{d}{dx}|x|$ | $\displaystyle {}=\frac{x}{|x|}$ |
| Equivalentemente, $\displaystyle \frac{d}{dx}|x|$ | $\displaystyle {}=\frac{|x|}{x}$ |
Práctica:
Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
La siguiente tabla resuma las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales, y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, las funciones logarítmicas y exponenciales de
una función).
Ejemplos: Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
| $\displaystyle \frac{d}{dx}[2 \ln x]$ | $\displaystyle {}=2\frac{d}{dx}[\ln x]$ |
| $\displaystyle {}=2\cdot\dfrac{1}{x}$ |
| ${} = \dfrac{2}{x}$ |
| |
| $\displaystyle \frac{d}{dx}[\ln(\color{indianred}{2x})]$ | $\displaystyle {}=\frac{1}{\color{indianred}{2x}}\frac{d}{dx}[\color{indianred}{2x}]$ |
| $\displaystyle {}=\frac{1}{2x}\cdot 2$ |
| $\displaystyle {}=\frac{1}{x}$ |
| |
| $\displaystyle \frac{d}{dx}[\log_3(\color{indianred}{2x+1})]$ | $\displaystyle {}=\frac{1}{(\color{indianred}{2x+1})\ln 3}\frac{d}{dx}[\color{indianred}{2x+1}]$ |
| $\displaystyle {}=\frac{1}{(2x+1)\ln 3}\cdot 2$ |
| $\displaystyle {}=\frac{2}{(2x+1)\ln 3}$ |
| |
| $\displaystyle \frac{d}{dx}[e^{\color{indianred}{x^2+1}}]$ | $\displaystyle {}=e^{\color{indianred}{x^2+1}}\frac{d}{dx}[\color{indianred}{x^2+1}]$ |
| $\displaystyle {}=e^{x^2+1}(2x)$ |
| $\displaystyle {}=2xe^{x^2+1}$ |
Práctica:
Práctica:
Combinando las reglas: Experimento mental de cálculo
Como vimos en
parte 1 de este resumen, el
experimento mental de cálculo (EMC) es una técnica para determinar si se trata una expresión algebraica como un producto, cociente, suma, o diferencia. aquí, extendemos el EMC para incluir también potencias, logaritmos, exponenciales, senos, cosenos, etc.. Como antes, dada esa expresión, se considera los pasos que usaría en calcular su valor. Si la última operación es la multiplicación, trata la expresión como un producto; si la última operación es la división, trata la expresión como un cociente, y así sucesivamente.
Usando el experimento mental de cálculo (EMC) para diferenciar una función
Si el EMC dice, por ejemplo, que la expresión es una potencia de una expresión más pequeña, entonces aplica la regla generalizada para potencias como primer paso. Esto te dejará tener que diferenciar la expresión más pequeña, y puedes usar el EMC en ésta, y así sucesivamente...
Ejemplos: Combinando las reglas: Experimento mental de cálculo
1. $(3x^2- 4)^3$ puede calcularse primero calculando la expresión entre paréntesis y luego elevándolo a la cuarta potencia. Como el último paso es
elevar a una potencia, podemos tratar la expresión como un
potencia.
2. $\dfrac{(2x-1)^{-3}}{x}$ puede calcularse calculando primero el numerador y el denominador por separado, y luego dividiendo uno por el otro. Como el último paso es
división, podemos tratar la expresión como un
cociente.
3. $e^{(4x-1)(x+2)}$ puede calcularse calculando el producto $(4x-1)(x+2)$, luego elevando $e$ a la cantidad resultante. Como el último paso es
elevar $e$ a una potencia, podemos tratar la expresión como
$e$ elevada a una cantidad.
4. $\ln[(3x^2-1)^5]$ puede calcularse calculando la expresión entre corchetes, y luego tomar el logaritmo de la respuesta resultante. Como el último paso es
tomar el logaritmo, podemos tratar la expresión como un
logaritmo.
Práctica:
Derivadas de funciones trigonométricas
La siguiente tabla resuma las derivadas de las seis funciones trigonométricas y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, el seno, coseno, etc. de una función).
Ejemplo: Derivadas de funciones trigonométricas
| $\displaystyle \frac{d}{dx}[x \sen x]$ | $\displaystyle {}=1\cdot \sen x + x\cos x$ |
| $\displaystyle {}=\sen x + x\cos x$ |
| |
| $\displaystyle \frac{d}{dx}[\cos(\color{indianred}{2x^2+1})]$ | $\displaystyle {}=-\sen(\color{indianred}{2x^2+1})\frac{d}{dx}[\color{indianred}{2x^2+1}]\quad$ |
| $\displaystyle {}=-\sen(\color{indianred}{2x^2+1})\cdot 4x$ |
| $\displaystyle {}=-4x\sen(2x^2+1)$ |
| |
| $\displaystyle \frac{d}{dx}[\sec(\color{indianred}{x^3})]$ | $\displaystyle {}=\sec(\color{indianred}{x^3})\tan(\color{indianred}{x^3})\frac{d}{dx}[\color{indianred}{x^3}]$ |
| $\displaystyle {}=\sec(x^3)\tan(x^3)\cdot 3x^2$ |
| $\displaystyle {}=3x^2\sec(x^3)\tan(x^3)$ |
Funciones implícitas y diferenciación implícita
Dado una ecuación en las variables $x$ y $y$, podemos pensar en $y$ como una
función implícita de $x$. Podemos hallar $\dfrac{dy}{dx}$ sin primero despejando a $y$ como sigue:
- Primero, toma la derivada respecto a $x$ de ambos lados de la ecuación (tratando $y$ como "una cantidad" en la regla de la cadena).
- Luego, despeja a $\dfrac{dy}{dx}$. Tal vez se da $\dfrac{dy}{dx}$ como función de tanto $y$ como $x$.
- Para evaluar $\dfrac{dy}{dx}$ a un valor específico de $x$ (o $y$), primero sustituye el valor dado en la ecuación original que muestra la relación entre $x$ y $y$ para obtener un valor para la otra variable si es necesario, y después sustituye los valores de $x$ y $y$ en la expresión de $\dfrac{dy}{dx}$.
Ejemplo: Funciones implícitas y diferenciación implícita
Supón que queremos hallar $\dfrac{dy}{dx}$ dado que
Primero, tomamos la derivada respecto a $x$ (es decir, $d/dx$) de ambos lados:
$\displaystyle \frac{d}{dx}[\color{indianred}{xy} + y^3x-e^y] = \frac{d}{dx}[4]$
$\displaystyle \color{indianred}{y+x\frac{dy}{dx}} + 3y^2\frac{dy}{dx} + y^3 - e^y\frac{dy}{dx} = 0$
Luego despejamos a $\dfrac{dy}{dx}$ por juntar todos los términos con $\dfrac{dy}{dx}$ a la izquierda y llevar los otros términos a la derecha:
$x\frac{dy}{dx}+3y^2\frac{dy}{dx}x - e^y\frac{dy}{dx} = -y -y^3$
Ahora saca a $\dfrac{dy}{dx}$ como factor común y despéjalo:
$\displaystyle \frac{dy}{dx}\left[x+3xy^2-e^y\right] = -y-y^3$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-y-y^3}{x+3xy^2-e^y}$.