#[Resources][Recursos]#

#[In the preceding tutorial we studied what happens when interest is periodically added to the principal in an investment of a fixed amount of money. Here, we consider what happens if, in addition, periodic payments or withdrawals are also made. An interest-bearing account into which you make periodic deposits or from which you make periodic withdrawals is called an annuity account or just an annuity. (The term "annuity" by itself sometimes also refers to the sequence of payments or withdrawals.) The period during which you make payments into an annuity account is called the accumulation phase and the period during which you make withdrawals is the annuitization or payout phase.][En el tutorial anterior estudiamos lo que sucede cuando el interés se añade al principal en una inversión de una suma fija de dinero Aquí consideramos que sucede si, además, se hace pagos o retiros periódicos. A una cuenta que genera intereses en la que se hace pagos periódicos o de la que se hace retiros periódicos se llama una cuenta annualidad o una anualidad. El término "anualidad" por s’ mismo a veces también se refiere a la secuencia de los depósitos o retiros. El período durante el cual estás haciendo depósitos es la fase de acumulación, y el período durante el cual estás haciendo retiros es la fase de anualización o de desembolso, durante el cual el valor de la cuenta se disminuya.]#

#[Accumulation: Deposits and future value][Acumulación: Depósitos y valor futuro]#

#[Suppose, for example, you make a payment of \$50 at the end of each month into an account earning 2.4% interest per year, compounded monthly. This means that your investment is earning $2.4%/12 = 0.2%$ per month, so the interest per period is $i = 0.024/12 = 0.002.$ What will be the value of the investment at the end of 3 years (36 months)?][Supón, por ejemplo, que haces un pago de \$50 a fin de cada mes en una cuenta que gana 2.4% interés por año, compuesto mensualmente. Esto significa que tu inversión gana $2.4%/12 = 0.2%$ por mes, y por lo tanto el interés por periodo es $i = 0.024/12 = 0.002.$ ¿Qué será el valor de la inversión a fin de 3 años (36 meses)?]#

#[First payment (at end of month 1)	\$50 earning interest for 35 months:][Primer pago (a fin del mes 1):     \$50 ganando interés para 35 meses:]#	$\qquad 50(1+0.002)^{35} \qquad$	$%FV=%PV(1+i)^n$
	#[Month 2 through month 36][Mes 2 hasta el mes 36]#
#[Second payment:	\$50 earning interest for 34 months:][Segundo pago:     \$50 ganando interés para 34 meses:]#	$\qquad 50(1+0.002)^{34} \qquad$
$\qquad \cdots$
#[Third-last payment:	\$50 earning interest for 2 months:][Antepenúltimo pago:     \$50 ganando interés para 2 meses:]#	$\qquad 50(1+0.002)^2 \qquad$
#[Next-to-last payment:	\$50 earning interest for 1 month:][Penúltimo pago:     \$50 ganando interés para 1 mes:]#	$\qquad 50(1+0.002) \qquad$
#[Last payment (at the end of month 36):	\$50; no time to earn interest:][Último pago (a fin del mes 36):     \$50; no tiempo para ganar interés:]#	$\qquad 50$
	Total:	???

#[The future value of the investment at the end of 3 years will be the sum][El valor futuro de la inversión a finales de 3 años será la suma]# \t $50+50(1+0.002)+50(1+0.002)^2 + \cdots +50(1+0.002)^{35}$ \\ $=$ \t $50[1+(1+0.002)+(1+0.002)^2 + \cdots +(1+0.002)^{35}]$ #[The expression in brackets is a geometric series ][La expresión entre parénteses es una serie geométrica ]# $1 + x + x^2 + \cdots + x^{35}.$ #[There is a formula for this sum: ][Hay una formula para esta suma: ]# $1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1} = \frac{x^n - 1}{x - 1}$ #[Here, $x = 1+0.002$, and so we can calculate the future value:][Aquí, $x = 1+0.002$, y por lo tanto podemos calcular el valor futuro:]#

$%FV = 50\frac{(1+0.002)^{36} - 1}{(1+0.002) - 1} = 50\frac{(1.002)^{36} - 1}{0.002} \approx \$1864.45$

#[Encouraged by the progress of the NASA Mars program, you are planning to retire on Mars in %23 years by making monthly payments into an account at Red Planet Savings paying %24% per year compounded monthly. Your goal is to accumulate \$%20 million by the time you retire.][Motivado por el progreso del programa Marte de NASA, estás planeando retirarte en %23 años para vivir en Marte por hacer pagos mensuales en una cuanta a Ahorros Planeta Rojo que paga %24% por año compuesto mensualmente. Tu meta es acumular \$%20 millón cuando te retiras.]#

#[Annuitization: Withdrawals and present value][Anualización: Retiros y valor presente]#

#[As we said above, an annuity account is in the annuitization or payout phase when one is making periodic withdrawals rather than deposits.][Como decimos anteriormente, una cuenta anualidad es en el fase de anualización o desembolso cuando se hace retiros periódicos en vez que retiros.]#

#[You have just retired on Mars in with \$%20 million in your Red Planet Savings account paying %24% per year compounded monthly. You plan to withdraw a monthly income from that account for %40 years.][Acabas de retirarte en Marte con \$%20 millón en tu cuenta a Ahorros Planeta Rojo que paga %24% por año compuesto mensualmente. Tienes pensando retirar un ingreso mensual de aquella cuenta para %40 años.]#

#[Amortization: installment loans and mortgages][Amortización: hipotecas y préstamos a plazos]#

#[In a typical installment loan or home mortgage, we borrow an amount of money and then pay it back with interest by making fixed payments over some number of years. The process of paying off a loan is called amortizing the loan, meaning killing the debt owed. From the point of view of the lender, this situation is an annuitizing annuity: the lender invests the money with you and "withdraws" monthly payments until the balance is zero. Thus, loan calculations are identical to annuity calculations. ][En un préstamo a plazos o de hipoteca de una casa típica, tomamos prestada una cantidad de dinero y luego devolvemos el dinero con intereses al hacer pagos fijos durante cierto número de años. El proceso de pagar un préstamo se llama amortizar el préstamo, lo que significa matar a la deuda contraída. Desde el punto de vista del prestamista, esta situación es una anualidad anualizante: el prestamista invierte el dinero contigo y "retire" pagos mensuales hasta que la balancia es cero. Por lo tanto, los cálculos de préstamos son idénticos a los cálculos de anualidades.]#

#[The most luxurious domed city on Mars is Megadome, with its large golf courses and artificial surf beaches, and you are considering buying a condominium there. Given your considerable retirement income, you calculate that you can afford to pay up to \$%45 per month on mortgage payments. Red Planet Savings offers %46-year mortgages at %47% interest. What is the largest mortgage you can afford?][La ciudad bajo cúpula más lujosa en Marte es Megacúpula, con sus grandes campos de golf y playas artificiales de surf, y estas pensando en comprar un condominio allí. Por consecuencia de tu ingreso considerable, calculas que puedes hacer pagos hipotecarios hasta \$%45 por mes. Ahorros Planeta Rojo ofrece hipotecas a %46 años con una tasa de interés de %47%. ¿Qué es el valor de la mayor hipoteca que te puedes permitir?]#

#[Bonds][Bonos]#

#[Bonds are forms of investment that pays %simpleinterest at a certain rate (often called the coupon rate), usually twice a year, for a length of time until it matures, at which point it returns the original investment to the investor.

Suppose that, just after you buy the bond, the prevailing interest rates have gone up, so newer-issued bonds will carry the higher interest rate. This makes the original bond worth less, as it pays less interest. How much less? Think of the original bond as an annuity account from which you make periodic withdrawals, and then you withdraw the original investment back at maturity. Then its new market value is the present value at the new (higher) interest rate.][Bonos son formas de inversión que pagan %simpleinterest a una cierta tasa (frecuentemente llamada la tasa de cupón), usualmente dos veces al año, durante un tiempo hasta que vence, cuando reportan la inversión original al inversionista.

Supongamos que, justo cuando has comprado el bono, las tasas de interés prevalecientes han subido, por lo que los bonos nuevamente expedidos llevarán la tasa de interés más alta. El resultado es que el bono original vale menos, ya que paga menos intereses. ¿Cuánto menos? Piensa en el bono original como una forma de anualidad de la que haces retiros periódicos y luego la inversión inicial al vencimiento. Entonces su nuevo valor de mercado es el valor presente al nuevo (mayor) tasa de interés.]#

#[You invest \$%50 million in Eurozone %51-year bonds with a coupon (annual) interest rate of %52%.][Inviertas \$%50 millón en bonos a %51-años del gobierno de la Eurozona con una tasa (anual) de cupón de %52%.]#