Marginal analysis/Análisis marginal

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the old tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial viejo!]#

Note To follow this section, you know how to locate relative and absolute maxima and minima of a real-valued function of a single variable. To review this material, press on the sidebar.

Nota Para seguir esta sección, debes saber como hallar máximos y mínimos relativos y absolutos de funciones de una sola variable. Para revisar esta material, pulsa el vínculo ubicado a la izquierda.

#[Applied problems in which we have to find the maximum or minimum are called optimization problems.

The key to solving an optimization problem is to set it up so that is amounts to locating the absolute maximum or minimum of a certain function called the objective function.

Sometimes, the given optimization problem requires little or no setting up like the following (compare the first example in Section 5.2 in or Section 12.2 of ):][Problemas aplicados en los que tenemos que determinar el máximo o mínimo se llaman problemas de optimización.

La clave para resolver un problema de optimización es configurarlo para que resulta en determinar el valor máximo o mínimo de una cierta función llamada la función objetivo.

A veces, el dado problema de optimización necesita poca o ninguna configuración como el siguiente (compara el primer ejemplo en Sección 5.2 de o Sección 12.2 de ):]#

You are the manager of Sassy Surf Creations, a new trend-setting clothing manufacturer. The cost function for your very exclusive Tai Kwon Do Dragon T shirts is $C(x) = %10$ dollars per week, where $x$ is the number of shirts you manufacture per week, up to a maximum of %11 shirts per week.

How many shirts per week you should manufacture in order to minimize the average cost? [Recall that the average cost is given by $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}.$ ] Eres el gerente de Creaciones Caraduras de Surf, una empresa fabricante de ropa. La función costo por tus camesitas Tai Kwan Do Dragón muy exclusivas es $C(x) = %10$ dólares por semana, donde $x$ es el número de camisetas que fabricas por semana, hasta un máximo de %11 camesitas por semana.

¿Cuántas camisetas debes fabricar para minimizar el costo promedio? [Recuerda que el costo promedio se da por $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}.$ ]

%Q #[You said above that the key is to set up the problem so that it amounts to locating the absolute maximum or minimum of a certain "objective" function. What is the objective function for this problem?][Dijiste más arriba que la clave es configurar el problema para que resulta en determinar el valor máximo o mínimo de una cierta función "objetivo". ¿Qué es la función objetivo para este problema?]#
%A #[To determine the objective function in any optimization problem, ask yourself: "The problem asks us to find the maximum (or minimum) what?" Here, the problem asks us to find the minimum average cost, so the objective function is the average cost function $\bar{C}$.][Para determinar la función objetivo en cualquier problema de optimización, pregúntate: "¿El problema nos pide el máximo (o mínimo) qué?" En este caso, el problema nos pide el mínimo costo promedio, y por lo tanto la función objetivo es la función costo promedio $\bar{C}$.]#

#[Sometimes, the %objectivefunction depends on more than one variable, as in the following applied optimization problem (similar to Example 2 in %4):][A veces, la %objectivefunction depende de más que una variable, como en el siguiente problema de optimización (parecido a Ejemplo 2 de %4):]#

#[Maximize][Maximizar]# $A = %20$ #[subject to][sujecto a]# $%21,\ x \geq 0,$ %and $y \geq 0.$ #[The quantity $A$ that we are trying to maximize is the %objectivefunction. The conditions that come after "subject to" are called constraints. Thus, we are trying to maximize some %objectivefunction subject to one or more constraints: ][La cantidad $A$ que deseamos maximar es la %objectivefunction. A las condiciones que siguen "sujecto a" se llama las restricciones. Así, estamos intentando maximizar una %objectivefunction sujeta a una o más resricciones: ]#

\t #[Maximize][Maximizar]# $A = %20$ \t #[Objective][Objetivo]# \\ &subjectto \\ \t $%21$ \t #[Equality constriant][Restricción de igualdad]# \\ \t $x \geq 0$ \t #[Inequality constriant][Restricción de desigualdad]# \\ \t $y \geq 0$ \t #[Inequality constriant][Restricción de desigualdad]#

%Q #[So how do we solve optimization problems like this?][¿Pues cómo solucionamos problemas de optimización como este?]#
%A #[Here's how:][Así se hace:]#

#[Solving an optimization problem][Solucionar un problema de optimización]#

#[To solve any problem of the above type, go through the following procedure (we already did the first four steps in the first example):][Para solucionar cualquier problema del tipo arriba, sigue los pasos a continuación (ya hicimos los primero cuarto en el primer ejemplo):]#

#[In general][Por lo general]#		#[Above example][Ejemplo arriba]#
1. #[Identify the unknowns.][Identifica las incógnitas.]#
#[These are usually the quantities asked for in the problem.][Estos son usualmente las cantidades que se preguntan en el problema.]#		$x$ #[and][e]# $y$

2. #[Identify the ][Identifica la ]# %objectivefunction.
#[This is the quantity you are asked to maximize or minimize.][Esta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.]#		$A = %20$

3. #[Identify the ][Identifica la ]# %constraints.
#[These can be equations relating variables or inequalities expressing limitations on the values of variables.][Estas pueden ser ecuaciones que relacionen las variables o desigualdades que expresen limitaciones para los valores de las variables.]#		$%21$ $x \geq 0, y \geq 0$

4. #[State the optimization problem.][Enuncia el problema de optimización.]#
#[This will have the form "Maximize (or minimize) the objective function subject to the constraint(s)."][Esto será de la forma "Maximizar (or minimizar) la %objectivefunction %subjectto la o las restricciones."]#		#[Maximize][Maximizar]# $A = %20$ %subjectto $%21$ $x \geq 0, y \geq 0$

5. #[Eliminate extra variables.][Elmina variables adicionales]#
#[If the objective function depends on several variables: Solve the constraint equations to express all variables in terms of one particular variable. Substitute these expressions into the objective function to rewrite it as a function of a single variable. Also substitute the expressions into any inequality constraints to determine the domain of the objective function. ][Si la %objectivefunction depende de varias variables: Soluciona las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en términos de una variable particular. Sustituya estas expresiones en la %objectivefunction para expresarla como una función de una sola variable. También sustituya estas expresiones en las restricciones de desigualdad para determinar el dominio de la %objectivefunction. ]#		%Objectivefunction $A = %20$ #[depends on $x$ and $y.$][depende de $x$ e $y.$]#


6. #[Restate the optimization problem in terms of a single independent variable without constraint equations.][Vuelve a enunciar el problema de optimización en términos de una sola variable sin ecucaciones de restricción.]#
#[Use the results of parts (a) and (c) of 5 above.][Usa los resultados de las partes (a) y (c) de 5. arriba.]#

7. #[Solve the optimization problem obtained in Step 6.][Soluciona el problema de optimización ontenido en Paso 6.]#
#[Use the techniques in the preceding tutorial.][UIsa los técnicos del tutorial anterior.]#

#[The next quiz is based on, but a little simpler than, Example 2 in %4:][El siguiente concurso es basado en, pero más sencillo que, Ejemplo 2 de %4:]#

#[Your company manufactures automobile alternators, and production is partially automated through the use of robots. Daily operating costs amount to \$%30 per laborer and \$%31 per robot. In order to meet production deadline, the company calculates that the numbers of laborers and robots must satisfy the condition

$xy = %33,$where $x$ is the number of laborers and $y$ is the number of robots. Assuming that the company wishes to meet production deadlines at a minimum daily cost $C$, how many laborers and how many robots should it use? ][Tu fábrica hace alternadores para coches, y la producción es parcialmente automatizada por el uso de robots. Los costos operativos diarios son \$%30 por trabajador y \$%31 por robot. Con el fin de cumplir con el plazo de producción, la fábrica estima que los números de trabajadores y robots deben satifacer la condición

$xy = %33,$donde $x$ es el número de trabajadores e $y$ es el número de robots. Suponiendo que la fábrica quiere cumplir con el plazo de producción a un costo diario mínimo $C$, ¿cuántos trabajadores y cuántos robots debe utilizar? ]#

#[Step 6. Restate the optimization problem in terms of the single independent variable $%36$ without constraint equations.][Paso 6. Vuelve a enunciar el problema de optimización en términos de la una sola variable $%36$ sin ecucaciones de restricción.]#

#[Step 7. Solve the optimization problem obtained in Step 6.][Paso 7. Soluciona el problema de optimización ontenido en Paso 6.]#

Now try the exercises in %4, some the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.

Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.