#[We saw in the preceding tutorial that when interest is paid on an investment earning simple interest, the interest is not added to the principal and so the value of the investment does not change. For an investment earning
compound interest, the interest is
added to the principal (or
reinvested) and the next interest payment is calculated using this larger principal. Here is a simple example:][Vimos en el tutorial anterior que el interés de una inversión ganando interés simple no se añade al principal, y por lo tanto el valor de la inversión no cambia. Si una inversión gana
interés compuesto, el interés sí se
añade al principal (or se
reinvierta) y el próximo pago de interés se calcula usando este principal más grande. A continuación un ejemplo :]#
#[Suppose you invest \$1,000 into an account paying you 10% compound interest each quarter. After one quarter the interest is \$100 and gets added to your account, and so you will have \$1,100 going into the second quarter. The second quarter's interest is 10% of this larger amount: \$110, and so you will have \$1,100 + \$110 = \$1,210 going into the third quarter, earning you you \$121 at the end of that quarter and boosting your account to \$1,210 + \$121 = \$1,331, and so on.][Por ejemplo, supón que inviertas \$1,000 en una cuenta que te paga 10% interés compuesto cada trimestre, entonces el interés después de un trimestre es \$100, que se añade al valor de tu cuenta y en consecuencia tendrás \$1,100 al comenzar el segundo trimestre. El interés at final del segundo trimestre es 10% de esta cantidad más grande: \$110, y así tendrás \$1,100 + \$110 = \$1,210 al comenzar el tercer trimestre. Te ganará \$121 a final de aquel trimestre, aumtentando el valor de tu cuenta hasta \$1,210 + \$121 = \$1,331, y así sucesivamente.]#
#[To generalize this calculation, notice that, at the end of each quarter, you have 110% of the amount you had at the start of the quarter; that is, the principal is multiplied by $1.10,$ or $1 + i,$ where $i = 0.10$ is the rate of interest per quarter. Thus, if you invest $%PV$ dollars to start (the
present value), then your future values at the end of each quarter will be ][Para generalizar este cálculo, observa que, a final del primer trimestre, tienes 110% de la cantidad que tuviste al principio del trimestre; es decir, el principal se multiplica por $1.10,$ o $1 + i,$ donde $i = 0.10$ es la tasa trimstral de interés. Por lo tanto, si invertiste $%PV$ dólares al principio (el
valor presente), entonces tus valores futuros a fin de cada trimestre serán ]#
$%PV,\ \ %PV(1+i),\ \ %PV(1+i)(1+i),\ \ %PV(1+i)(1+i)(1+i),\ \cdots \qquad $
%or
$%PV,\ \ %PV(1+i),\ \ %PV(1+i)^2,\ \ %PV(1+i)^3,\ \cdots $
#[and so, after $n$ quarters your account would be worth][y en consecuencia, después de $n$ trimestres tu cuenta valerá]#
$%FV = %PV(1+i)^n.$ $\qquad $
#[Compound interest][Interés compuesto]#
#[The future value of an investment (or loan) of $%PV$ earning %compoundinterest at a rate of $i$ per period for $n$ periods is][El valor futuro de una inversión (o préstamo) de $%PV$ que gana %compoundinterest a una tasa de interés de $i$ por período durante $n$ períodos es]#
$%FV = %PV(1+i)^n \qquad \qquad$ \t
#[If an investment earns %compoundinterest an annual interest rate of $r$ but has interest reinvested (or
compounded) $m$ times per year, then the interest rate per period is $i = r/m.$ Thus, after $t$ years, the interest will have been compounded $n = mt$ times, and so ][Si una inversión geana %compoundinterest a una tasa anual de $r$ pero se reinvierte (o
compone) $m$ veces por año, entonces la tasa de interés por período es $i = r/m.$ Por lo tanto, después de $t$ años, se habrá compuesto el interés $n = mt$ veces, y por consecuencia ]#
$%FV = %PV\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mt}\qquad$ \t
%Examples
1. #[Find the future value of a \$20,000 %compoundinterest investment earning 8.5% annually after 4 years if the interest is compounded monthly.][Determina el valor futuro después de 4 años de una inversión %compoundinterest de \$20,000 a una tasa de 8.5% por año si se compone el interés mensualmente.]#
#[
Solution Here,][
Solución Aquí,]#
$%PV = 20\,000, \ \ r = 0.085,\ \ t = 4,\ \ m = 12,$
#[and so,][y por lo tanto]#
$FV = %PV\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mt} = 20\,000\left(1+\frac{0.085}{12}\right)^{48} \approx \$2\,8065.30.$
2. #[\$%15 is invested in
Banque Royale at an annual rate of %18% for %17 years with the interest reinvested %19.][Se invierte \$%15 en
Banco Royale auna tasa anual de %18% par %17 años con el interés reinvertido %19.]#
3. #[You invest \$%20 million in
Red Planet Savings paying %24% in compound interest every Martian month for %23 Martian months.][Inviertas \$%20 millón en
Ahorros Planeta Rojo para un período de %23 meses marcianos que paga %24% interés compuesto cada mes marciano.]#
#[The next two quizzes are based on Examples 2 and 4 in %12. Use the formula ][Los dos concursos siguientes son basados en Ejemplos 4, 5, y 6 de %12. Usa la formula ]# $%FV = %PV\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mt}$ #[ to solve for the desired unknown in each case.][ para despejar el desconocido deseado en cada caso.]#
%38
%50
#[Effective interest rate][Tasa de interés efectiva]#
#[Which gives the better return: 5% interest compounded quarterly, or 4.9% compounded monthly? A straightforward way of comparing these two investments would be to calculate the interest each would give at the end of a year as a percentage of the original investment. This interest rate is called the
effective interest rate.][¿Cuál da el mejor rendimiento: 5% interés compuesto trimestralmente, o 4.9% compuesto mensualmente? Una manera sencilla de comparar estas dos inversiones sería calcular el interés cada una daría a fin de un año como un porcentaje de la inversión original. Esta tasa de interés se llama
la tasa de interés efectiva.]#
#[Effective interest rate][Tasa de interés efectiva]#
#[The
effective interest rate, $r_{\text{eff}}$, of an investment is the percentage return it gives at the end of a year. The
nominal interest rate, $r_{\text{nom}}$, is the stated interest rate of the investment regarless of the compounding period. To calculate the effective rate, we use the formula][La
tasa de interés efectiva, $r_{\text{eff}}$, de una inversión es el remdimiento porcentual que le da a fin de un año. La
tasa de interés nominal, $r_{\text{nom}}$, es la tasa de interés declarada sin importar el período compuesto. Para calcular la tasa efectica usamos la fórmula]#
$r_{\text{eff}} = \left(1 + \frac{r_{\text{nom}}}{m}\right)^m - 1$.
#[To compare investments with different compounding periods, we compare their effective interest rates rather than their nominal rates.][Para comparar inversiones con distintos períodos compuestos, comparamos sus tasas efectivas en vez de sus gtasas nominales.]#
%Examples
1. #[In the scenario we considered above:][En el escenario arriba:]#
#[5% compounded quarterly:][5% compuesto trimestralmente:]# $r_{\text{eff}} = \left(1 + \frac{r_{\text{nom}}}{m}\right)^m - 1 = \left(1 + \frac{0.05}}{4}\right)^4 - 1 \approx 0.05095$
#[4.9% compounded monthly:][4.9% compuesto mensualmente:]# $r_{\text{eff}} = \left(1 + \frac{r_{\text{nom}}}{m}\right)^m - 1 = \left(1 + \frac{0.049}}{12}\right)^{12} - 1 \approx 0.05012$
#[It follows that the first investment gives a (slightly) better return.][Resulta que la primera inversión da un rendimiento (algo) mejor.]#
2.
%67
Now try the exercises in %12, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.
Ahora prueba los ejercicios en %12, o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
Last Updated: February 2014
Copyright © 2014
Última actualización: febrero 2014
Derechos de autor © 2014