Note To follow this section, you know how to calculate and interpret derivatives of functions of a single real variable. To review that material, press on the sidebar and select the tutorials on derivatives you wish to review.
Nota Para seguir esta sección, debes saber como calcular y interpretar derivadas de funciones de una sola variable real. Para repasar aquel material, pulsa el vínculo ubicado a la izquierda y seleccione los tutorials sobre derivadas que deseas repasar.
#[Resources][Recursos]#
#[Second derivative][Segunda derivada]#
#[The
second derivative of a function is simply
the derivative of the derivative function:][La
segunda derivada de una función es simplemente
la derivada de la función derivada:]#
#[Second derivative][Segunda derivada]#
#[The
second derivative of a function of a single real variable $f$ is the derivative of $f',$ or $(f')'.$ We write the second derivative as $f''.$ If $f''(a)$ exists, we say that $f$ is
twice differentiable at $x = a.$][La
segunda derivada de una función de una sola variable real $f$ es la derivada of $f',$ o $(f')'.$ Escribimos la segunda derivada como $f''.$ Si existe $f''(a),$ decimos que $f$ es
dos veces diferenciable en $x = a.$]#
%Examples
1. %If $f(x) = x^4-2x^2,$ %then $f'(x) = 4x^3 - 4x,$ #[and so][y por lo tanto]# $f''(x) = 12x^2 - 4.$
2. %If $f(x) = 5x-3,$ %then $f'(x) = 5,$ #[and so][y por lo tanto]# $f''(x) = 0.$
3. %If $f(x) = e^x,$ %then $f'(x) = e^x,$ #[and so][y por lo tanto]# $f''(x) = e^x$ #[as well][también]#.
%Q
#[Apart from the sadistic desire of instructors to force us to take derivatives over and over, what is the point of the second derivative?][Aparte del deseo sádico de los instructores de obligarnos a tomar derivados una y otra vez, ¿cuál es el punto de la segunda derivada?]#
%A
#[We sill see several important applications here, perhaps the most important of which is
acceleration.][Veremos varias aplicaciones importantes a continuación, tal vez lo más importante de las cuales es
aceleración.]#
%Acceleration
#[Suppose a car is traveling along a straight stretch of higway. If $s(t)$ represents the position of a car along the highway at time $t,$ then its velocity is given by the derivative: $v(t) = s'(t).$ But one rarely drives a car at a constant speed; the velocity itself may be changing. The rate at which the velocity is changing is the
acceleration. Because the derivative measures the rate of change, acceleration is the derivative of velocity: $a(t) = v'(t).$ Because $v$ is the derivative of $s,$ we can express the acceleration in terms of $s$:][Supongamos que un coche está viajando a lo largo de un tramo recto de carretera. Si $s(t)$ representa la posición del coche a lo largo del carretera en el momento $t,$ entonces su velocidad se da por la derivada: $v(t) = s'(t).$ Sin embargo, rara vez conducimos un coche con una velocidad constante; la velocidad en sí puede estar cambiando. La velocidad a la que cambia la velocidad es la
aceleración. Ya que la razón de cambio se mide por la derivada, la aceleración es la derivada de la velocidad: $a(t) = v'(t).$ Ya que $v$ es la derivada de $s,$ podemos expresar la aceleración en términos de $s$:]#
$a(t) = v'(t) = (s')'(t) = s''(t).$
#[So, the acceleration $a$ is the second derivative of the position $s.$][Por lo tanto, la aceleración $a$ es la segunda derivada de la posición $s.$]#
#[Acceleration][Aceleración]#
#[The
acceleration of an object moving in a straight line is the derivative of its velocity as a function of time; that is, the second derivative of the position function as a function of time.][La
aceleración de un objeto en movimiento en una recta es la derivada de su velocidad en función del tiempo; es decir, la segunda derivada de la posición en función del tiempo.]#
%Examples
1. %If $t$ #[is time in seconds and the height of launch vehicle at time $t$ is][es el tiempo en segundos y la altura de un vehículo de lanzamiento en el momento $t$ is]# $s(t) = t^3 + 3t$ #[meters, then the velocity of the vehicle is][metros, entonces la velocidad del vehículo es]# $v(t) = s'(t) = 3t^2 + 3$ m/s #[and its acceleration is][y su aceleración es]#
$a(t) = s''(t) = v'(t) = 6t + 4$ m/s2 $\qquad$
2. #[The height of a soccer ball kicked by Rafael Márquez %27 is given by ][La altura de una pelota pateada por Rafael Márquez %27 se da por]# $h(t) = %23$ #[meters, where $t$ is time in seconds after he kicks it.][metros, donde $t$ es el tiempo en segundos después de que la patea.]#
#[Differential notation][Notación diferencial]#
#[If we write the first derivative of $f$ in differential notation,][Si escribimos la primera derivada de $f$ en la notación diferencial, ]#
%then
$f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)] = \frac{d}{dx}\left\[\frac{df}{dx}\right\],$
#[which we write more compactly as][que escribimos de modo más compacto como]#
#[So, for instance, ][Así, por ejemplo]#
%Velocity $= s'(t) = \frac{ds}{dt}; \qquad$ %Acceleration $= s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2}.$
#[Similar to Example 2 in %4][Parecido al Ejemplo 2 in %4]#
#[Accumulated sales of
Equivariant Ordinary Homology and Cohomology since its introduction can be modeled by ][Las ventas acumuladas de
La homología y cohomología ordinaria equivariante desde su introducción se puede modelar por]#
$S = %30$ #[thousand books][mil libros]#
#[where $t$ is time in months since the book came out five years ago.][donde $t$ es el tiempo en meses desde salió el libro hace cinco años.]#
#[Geometric interpretation of second derivative: Concavity][Interpretación geométrica de la segunda derivada: Cancavidad]#
#[Geometrically, the
first derivative of a function $f$ tells us when its graph is rising or falling (rising when $f'(x) > 0$ and falling when $f'(x) < 0$). The
second derivative tells us how the graph of $f$ is
curving:][Geométricamente, la
primera derivada de una función $f$ nos dice cuando su gráfica está subiendo o bajando (subiendo cuando $f'(x) > 0$ y bajando cuando $f'(x) < 0$). La
segunda derivada nos dice cómo está
curvando. la gráfica de $f:$]#
#[Concavity and the second derivative][Concavidad y la segunda derivada]#
- #[The graph is curving upwards, or concave up when $f''(x) > 0.$][La gráfica se está curvando hacia arriba, o es cóncava hacia arriba cuando $f''(x) > 0.$]#
- #[The graph is curving downwards, or concave down when $f''(x) < 0.$][La gráfica se está curvando hacia abajo, o es cóncava hacia abajo cuando $f''(x) < 0.$]#
#[
][
]#
#[The blue dot at $x = c$ is a point of inflection: a point where the sign of $f''(x),$and hence the type of concavity, changes.][El punto azul en $x = c$ es un punto de inflección: un punto donde el signo de $f''(x),$ y por lo tanto el tipo de concavidad, cambia.]#
#[To locate a possible point of inflection, set $f''(x) = 0$ and solve for $x.$][Para localizar un posible punto de inflección, iguala $f''(x) = 0$ y despeja a $x.$]#
%Examples
1. %If $f(x) = x^3-6x^2,$ %then $f'(x) = 3x^2 - 12x,\ f''(x) = 6x - 12.$
#[Point of inflection: Set $f''(x) = 0$ and solve for $x:$][Punto de inflección: Iguala $f''(x) = 0$ y despeja a $x:$]# $6x - 12 = 0$ #[gives][se da]# $x = 2.$
#[
][
]#
#[To the left of the point of inflection at $x=2, f''(x) = 6x - 12$ is negative, and so the graph is concave down. To the right of the point of inflection, $f''$ is positive, and so the graph is concave up.][A la izquierda del punto de inflección en $x=2, f''(x) = 6x - 12$ es negativa, y por lo tanto la gráfica es cóncava hacia abajo. A la derecha del punto de inflección, $f''$ es positiva, y por lo tanto la gráfica es cóncava hacia arriba.]#
#[Application][Aplicación]#
#[Accumulated sales of
General Relativity for Toddlers since its introduction can be modeled by ][Las ventas acumuladas de
Relatividad General Para Niños Pequeños desde su introducción se puede modelar por]#
$S(t) = %53\ $ #[thousand books,][mil libros,]#
#[where $t$ is time in months since the book came out five years ago.][donde $t$ es el tiempo en meses desde salió el libro hace cinco años.]#
#[Graph:][Gráfica:]#
#[Second derivative test for relative extrema][Prueba de la segunda derivada para los extremos relativos]#
#[Here is a graph showing two stationary points: a relative minimum at $a$ and a relative maximum at $b.$ ][A continuación una gráfica que mustra dos puntos estacionarios: un mínimo relativo en $a$ y un máximo relativo en $b.$ ]#
#[
][
]#
#[Notice that the curve is concave up at the relative minimum $(x = a),$ so that $f''(a) > 0,$ and concave down at the relative maximum $(x = b),$ so that $f''(b) < 0.$ This observation gives us the following test:][Observa que la curva es cóncava hacia arriba en el mínimo relativo $(x = a),$ y así $f''(a) > 0,$ y cóncava hacia abajo en el máximo relativo $(x = b),$ así que$f''(b) < 0.$ Esta observación nos da la siguiente prueba:]#
#[Second derivative test for relative extrema][Prueba de la segunda derivada para extremos relativos]#
#[If $f$ has a stationary point at $c,$ and $f''(a)$ exists and is nonzero, then we can say immediately that $f$ has a relative extremum at $a.$ Further, by just looking at the sign of $f''(a)$ we know whether that point is a maximum or minimum:][Si $f$ tiene un punto estancionario en $c,$ y $f''(a)$ existe y es distinta de cero, entonces podemos decir inmediatamente que $f$ tiene un extremo relativo en $a.$ Además, por simplemente pormirar el signo de $f''(a)$ sabemos si aquel punto extremo es un máximo o un mínimo:]#
- %If $f''(a) > 0,$ %then $f$ #[has a relative minimum at][tiene un mínimo relativo en]# $a.$
- %If $f''(a) < 0,$ %then $f$ #[has a relative maximum at][tiene un máximo relativo en]# $a.$
%Note #[If $f''(a) = 0$ then the test tells us nothing, so you would need to use some other method to determine whether or not $f$ has a relative extremum at $a.$ ][If $f''(a) = 0$ then the test tells us nothing, so you would need to use some other method to determine whether or not $f$ has a relative extremum at $a.$]#
%Examples
1. %If $f(x) = x^3-6x^2,$ %then $f'(x) = 3x^2 - 12x,\ f''(x) = 6x - 12.$ (#[We have already looked at this function.][Ya hemos mirado esta función.]#)
#[Stationary points: Set $f'(x) = 0$ and solve for $x:$][Puntos estacionarios: Iguala $f'(x) = 0$ y despeja a $x:$]#
$3x^2 - 12x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x - 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0,\ x = 4.$
#[So, there are two stationary points: at $x = 0$ and $x = 2.$][Por lo tanto, hay dos putos estacionarios: en $x = 0$ y $x = 2.$]#
#[Evaluate $f''$ at first stationary point: ][Evalua $f''$ en primero punto estacionario: ]# $x = 0:$
$f''(0) = 6(0) - 12 = -12$ $f''(0)$ #[is negative, so $f$ has a relative maximum at ][es negativa, así $f$ tiene un máximo relativo en ]# $x = 0.$
#[Evaluate $f''$ at second stationary point: ][Evalua $f''$ en segundo punto estacionario: ]# $x = 4:$
$f''(4) = 6(4) - 12 = 12$ $f''(4)$ #[is positive, so $f$ has a relative minimum at ][es positiva, así $f$ tiene un mínimo relativo en ]# $x = 4.$
#[Here again is the graph of $f$ showing these features:][Aquí de nuevo es la gráfica de $f$ que muestra estas características:]#
#[
][
]#
#[Third and higher order derivatives][Derivadas de orden tercera y superior]#
#[There is no need to stop at the second derivative; we could simply go on taking derivatives indefinitely. For insrtance, the third derivative $f'''$ of $f$ is the derivative of $f''$, and so on. We write higher order derivatives as follows][No hay necesidad de parar en la segunda derivada; podríamos simplemente continuar tomando derivadas indefinidamente. Por ejemplo, la tercera derivada $f'''$ de $f$ es la derivada de $f''$, and so on Escribimos las derivadas de orden superior como sigue:]#
#[Fourth derivative of][Cuarta derivada de]# $f: \quad f^{(4)}(x)$ %or $\quad \frac{d^4f}{dx^4}$
#[Fifth derivative of][Quinta derivada de]# $f: \quad f^{(5)}(x)$ %or $\quad \frac{d^5f}{dx^5}$
#[and so on.][y así sucesivamente.]#
#[For example,][Por ejemplo]# %if $f(x) = x^5+x^2,$, %then
$f'(x) = 5x^4+2x,\ \ f''(x) = 20x^3+2,\ \ f'''(x) = 60x,\ \ f^{(4)}(x) = 60,\ \ f^{(5)}(x) = f^{(5)}(x) = \dots = 0.$
#[What do these higher derivtives mean? The third derivative, being the second derivative of the first derivative, can be interpreted as the acceleration of the velocity. The fourth derivative can be interpreted as the acceleration of acceleration, and so on...][¿Qué significan estas derivadas superiores? La tercera derivada, siendo la segunda derivada de la primera derivada, se puede interpretar como la aceleración de la velocidad. El cuarto derivado se puede interpretar como la aceleración de la aceleración, y así sucesivamente ...]#
Now try the exercises in %4, some the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.
Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
Last Updated: December, 2020
Copyright © 2013
Última actualización: diciembre 2020
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