Limits and continuity/Limites y continuidad

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%Goodies

Let us look once again at the graph of the function $f$ we saw in the %2: Consideremos otra vez la gráfica de la función $f$ que vimos en el %2:

Observa que la gráfica de $f$ tiene "roturas" en dos valores de $x$ en su dominia: una en $x = -1$, y la otra en $x = 0$. Decimos que $f$ es disontinua en tales valores de $x$. Decimos que $f$ es continua en valores de $x$ a los que no se rompe la gráfica, como en $x = 1$. Podemos expresar estas ideas puramente en términios de límites: Notice that the graph of $f$ has "breaks" in it at two values of $x$ in its domain: one at $x = -1$, and the other at $x = 0$. We say that $f$ is discontinuous at such values of $x$. We say that $f$ is continuous at values of the its domain where the graph does not break, such as at $x = 1$. We can epress these ideas purely in terms of limits:

Continuous function Función continua

Let $x = a$ be a point in the domain of the function $f.$ Then $f$ is %contat $x = a$ if both of the following are true: Sea $x = a$ un punto en el dominio de la función $f.$ Entonces $f$ es %contat $x = a$ si ambos de los siguientes son verdaderos: 1. $%40$ %exists.\t $\qquad$ \t So, if the left and right limits exist, they are equal. Es decir, si existen los límites laterales derecho y izquierdo, entonces son iguales. \\ 2. $%40 = f(a)$ \t \t The limit equals the value of the function at the point $a$. El límite es igual al valor de la función en el punto $a$. The function $f$ is said to be continuous on its domain if it is continuous at every point in its domain. If $f$ is not continuous at a particular point, $a$, in its domain, we say that $f$ is discontinuous at $x = a$ or that $f$ has a discontinuity at $x = a$. La función $f$ es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. Si $f$ no es continua en un punto particular, $a$, en su dominio, decimos que $f$ es discontinua en $x = a$ o que $f$ tiene una discontinuidad en $x = a$.

%Example

In the graph we are studying: En la gráfica que hemos sido estudiando:

Is $f$ continuous at $x = 1$?

¿Es continua $f$ en $x = 1$?

Check the definition:

Comprueba la definición:

1. $\lim_{x \to 1} f(x)$ %exists, and equals 0.5. ✓ \\ 2. $f(1) = 0.5$ as well.también. ✓

Is $f$ continuous at $x = 0$?

¿Es continua $f$ en $x = 0$?

Check the definition:

Comprueba la definición:

1. $\lim_{x \to 0} f(x)$ %doesnotexist. ✗

Is $f$ continuous at $x = -1$?

¿Es continua $f$ en $x = -1$?

Check the definition:

Comprueba la definición:

1. $\lim_{x \to -1} f(x)$ %exists, and equals 1. ✓ \\ 2. $f(-1) = 0, $ which does not equal the limit. que no es igual al límite. ✗

%Let

$f(x) = \matleft{\* %10 , \text{%if} %13! %11 , \text{%if} %14! %12 , \text{%if} %15} .$

Click on the correct graph of $f$.

Haz clic en la gráfica correcta de $f$.

Discontinuity versus singularity Discontinuidad versus singularidad

%Q What happens if a function $f$ is not defined at the isolated point $x = a$. Can we say that $f$ is automatically discontinuous there? For instance, $f(x) = 1/x$ is discontinuous at $x = 0$, right? ¿Qué ocurre si una función $f$ no es definida en el punto aislado $x = a$. Podemos decir que $f$ es automáticamente discontinua ahí? Por ejemplo, $f(x) = 1/x$ es discontinua en $x = 0$, ¿correcto?
%A Wrong. Continuity and discontinuity of a function are defined only for points in a function's domain; a function cannot be continuous at a point not in its domain, and it cannot be discontinuous there either. If a function is not defined at an isolated point $x = a$, we say that $f$ has a singularity at $x = a$. So, for exanple, $f(x) = 1/x$ has a singularity at $x = 0$ but we cannot say it is discontinuous there (even though the graph breaks at that point). Be aware that many authors use the term "discontinuity" to apply to singular points as well, but that is contrary to the accepted definition of the term. Incorrecto. Continuidad y discontinuidad de una función son definidos solamente para puntos en el dominio de una función; una función no puede ser continua en un punto no en su dominio, y no puede ser discontinua ahí tampoco. Si una función no es definida en un punto aislado $x = a$, decimos que $f$ tiene una singularidad en $x = a$. Así, por ejemplo, $f(x) = 1/x$ tiene una singularidad en $x = 0$ pero no podemos decir que es discontinua ahí (a pesar de que rompe la gráfica en aquel punto). Está consciente que muchos autores usan el término "discontinuidad" para aplicar a puntos singulares también, pero eso contrario a la definición aceptada del término.

You will see more about continuous functions in the next tutorial when we discuss them algebraically. Verás más sobre funciones continuas en el próximo tutorial donde hablaremos de ellas algebraicamente.

You can now either try the exercises on estimating limits graphically in Section 3.1 of or Section 10.1 of , some the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar..

Puedes ahora probar los ejercicios sobre la estimación de límitges gráficamente en la sección 3.1 del libro o la sección 10.1 de , algunos de los %8, o seguir con la parte B de este tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.