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No me gusta este tutorial nuevo. ¡Regrésame al tutorial más viejo!
#[Resources][Recursos]#
%Note #[To follow this section, it would be best if you first reviewed
average rates of change.][Para seguir esta sección, sería mejor si primero revises
razones promedios de cambio.]#
#[What is the derivative?][¿Qué es la derivada?]#
#[If some quantity is changing with time (for instance, the height of a launch vehicle blasting off into space, the value of the Dow Jones index, or your position along a highway) then its
derivative at each instant of time is just its
velocity at that instant ot time. Some quick examples:][Si alguna cantidad está cambiando con el tiempo (por ejemplo, la altura de un vehículo de lanzamiento despegando hacia el espacio, el valor del índice Dow Jones, o tu posición a lo largo de una carretera) entonces su
derivada en cada instante de tiempo es nada más que su
velocidad en ese instante de tiempo. Algunas ejemplos rápidos:]#
- #[If a launch vehicle is currently rising at a rate of 100 meters per second, then the derivative of its height is the current velocity: $100$ m/s.][Si un vehículo de lanzamiento está subiendo a razón de 100 metros por segundo, entonces la derivada de su altura es la velocidad actual: 100 m/s.]#
- #[If the Dow Jones was plummeting at rate of 200 points per minute at noon, then its derivative at noon was $-200$ points/min (negative velocity indicates decrease).][Si el Dow Jones estaba cayendo en picado a razón de 200 puntos por minuto al mediodía, entonces su derivada al mediodía era $-200$ puntos/min (velocidad negativa indica disminución).]#
- #[If, at the moment, you are 20 miles along the highway and your position along the highway is increasing at a rate of 80 miles per hour, then its derivative at this moment is your current velocity: $80$ mph. The speedometer is the handy instrument that measures this derivative.][Si, en este momento, estás 20 millas a lo largo de una carretera y tu posición a lo largo de la carretera está aumentando a una razón de 80 millas por hora, entonces su derivada en este momento es tu velocidad actual: $80$ mph. El velocímetro es el instrumento práctico que mide esta derivada.]#
#[The derivative of a quantity at an instant of time is usually referred to as its
instantaneous rate of change at that instant; the term "velocity" is traditionaly preferred only in the context of motion.][la derivativa de una cantidad en un instante del tiempo se normalmente conoce como su
razón instantñea de cambio en ese instante; el término "velocidad" se prefiere tradicionalmente sólo en el contexto de movimiento.]#
#[You are based in Indonesia, and you monitor the value of the US Dollar on the foreign exchange market very closely during a rather active five-day period. Suppose you find that the value of one US Dollar can be well approximated by the function
$R(t) = %11$ rupiahs $\qquad (0 \leq t \leq 5) \qquad$ The rupiah is the Indonesian currency
where $t$ is time in days. ($t = 0$ represents the value of the Dollar at noon on Monday.) ][Estás ubicado en Indonesia, y estás siguiendo detenidamente el valor del dólar estadounidense en el mercado de divisas durante un periodo bastante activo de cinco días. Encuentras que el valor del dólar se puede aproximar estrechamente por la función
$R(t) = %10$ rupias $\qquad (0 \leq t \leq 5) \qquad$ La rupia es la moneda de Indonesia
donde $t$ es el tiempo en días. ($t = 0$ representa el valor del dólar a mediodía el lunes.) ]#
#[How to estimate the derivative numerically][Cómo estimar la derivada numéricamente]#
%Q #[The discussion so far is all very well, but how do we
caculate derivatives? All we know how to actually calculate up to now are
average rates of change over intervals; not
instantaneous rates at single points.][La discusión hasta ahora está muy bien, pero ¿cómo
calculamos derivadas? Todo que conocemos calcular realmente hasta ahora son razones
promedio de cambio durante intervalos; no razón instantñeas de cambio en puntos solos.]#
%A #[The trick—and this simple trick is one of the great intellectual breakthroughs that led to the discovery of calculus—is to consider the rates of change over smaller and smaller intervals. As an example, let's look again at the above function giving the value of the dollar in rupiahs at time $t$ days since Monday at noon:][El truco—y este sencillo truco es uno de los grandes avances intelectuales que llevó al descubrimiento del cálculo—es considerar razones de cambio durante intervalos más y más cortos. Como un ejemplo, vamos a mirar de nuevo la función anterior dando el valor del dólar en rupias en el tiempo $t$ días a partir del mediodía el lunes:]#
$R(t) = %11$ $\qquad (0 \leq t \leq 5)$
#[At each instant $t,$ the derivative measures the exact rate at which the value of dollar is changing at that instant. We will now numerically estimate the derivative at one of those instants: $t = %13,$ corresponding to %14:][En cada instante $t,$ la derivada mide la razón exacta a la que el valor del dólar está camiando en ese instante. A continuación, vamos a estimar numéricamente la derivada en uno de aquellos instantes: $t = %13,$ que corrsponde al %14:]#
#[To obtain the derivative of $R$ at the instant $t = %13$ (that is, the
instantaneous rate of change at $t = %13,$) we will compute the
average rates of change over smaller and smaller intervals
starting at $t = %13:$][Para obtener la derivada de $R$ en el instante $t = %13$ (es decir, la
razón instantñea de cambio en $t = %13,$) calcularemos las
razones promedio de cambio sobre intervalos más y más pequeño
a partir de $t = %13:$]#
$[%13, %13+h]; \quad h = 1,\ \ 0.1,\ \ 0.01,\ \ 0.001, $ %and $0.0001$
%Therefore,
$h = 1$ #[gives the interval][da el intervalo]# $[%13, %13+1] = [%13,%15]. \qquad$ | %Averate over $[%13,%15] =\frac{R(%15) - R(%13)}{%15-%13}$ #[rupiahs/day][rupias/día]# |
$h = 0.1$ #[gives the interval][da el intervalo]# $[%13, %13+0.1] = [%13,%16]. \quad$ | %Averate over $[%13,%16] =\frac{R(%16) - R(%13)}{%16-%13}$ #[rupiahs/day][rupias/día]# |
$h = 0.01$ #[gives the interval][da el intervalo]# $[%13, %13+0.01] = [%13,%17]. \quad$ | %Averate over $[%13,%17] =\frac{R(%17) - R(%13)}{%17-%13}$ #[rupiahs/day][rupias/día]# |
$h = 0.001$ #[gives the interval][da el intervalo]# $[%13, %13+0.001] = [%13,%18]. \quad$ | %Averate over $[%13,%18] =\frac{R(%18) - R(%13)}{%18-%13}$ #[rupiahs/day][rupias/día]# |
$h = 0.0001$ #[gives the interval][da el intervalo]# $[%13, %13+0.0001] = [%13,%19]. \quad$ | %Averate over $[%13,%19] =\frac{R(%19) - R(%13)}{%19-%13}$ #[rupiahs/day][rupias/día]# |
#[To compute these average rates of change (similar to what we did in the last example of the
average rates of change tutorial) you can use the following little utility that computes the average rate of change of any function of $x$ or $t$ over any interval. Enter the technology formula for $R(t)$ in the formula box below, and the values for the end-points $a = %13$ and $b = %13 + h$ using the various values of $h:$][Para calcular estas razones promedio de cambio (similar a lo que hicimos en el último ejemplo de la
tutorial sobre razones promedio de cambio) puedes utilizar la siguiente pequeña utilidad que calcula la razón promedio de cambio de cualquier función de $x$ o $t$ sobre cualquier intervalo. Ingresa la formula tecnología para $R(t)$ en al cuadro de fórmula, y los valores de los puntos extremos $a = %13$ y $b = %13 + h$ utilizando los varios valores de $h.$]#
#[The process of letting $h$ get smaller and smaller is called
taking the limit as $h$ approaches 0; see the
tutorials on limits to learn more about limits in general. Taking the limit of the average rates of change as $h$ approaches zero gives us the instantaneous rate of change. Here is the notation for this limit: ][El proceso de dejar que $h$ disminuye más y más se llama
tomando el límite a medida que $h$ se acerca a 0; ve los
tutoriales sobre límites para aprender más de los límites en general. Tomando el límite de las razones promedio de cambio a medida que $h$ se acerca a cero nos da la razón instantánea de cambio. A continuación miramos la notación para este límite.]#
Instantaneous rate of change of f(x) at x = a: The derivative
Razón instantánea de cambio de f(x) en x = a: La derivada
Mathematically, the derivative, or instantaneous rate of change, of $f(x)$ at $x = a$ is defined as the limit of the average rates of change of $f$ over the intervals $[a, a+h],$ as $h$ approaches 0. We write:
Matemáticamente, la derivada, o razón instantánea de cambio de $f(x)$ en $x = a$ se define como el límite de los razones promedio de cambio de $f$ sobre los intervalos $[a, a+h],$ a medida que $h$ se aerca a 0. Escribimos:
#[Derivative = Instantaneous rate of change][Derivada = Razón instantánea de cambio]# $= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
#[In words][En palabras]#:
#[Derivative = the limit, as $h$ approaches zero, of the difference quotient][Derivada = el límite, a medida que $h$ se acerca a cero, del cociente de las diferencias]# $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$
#[Notation][Nocación]#: #[We write the derivative of $f$ at $a$ as $f'(a)$ (read "$f$ prime of $a$).][Escribimos la derivada de $f$ en $a$ como $f'(a)$ (se lee "$f$ prima de $a$).]#
#[Units][Unidades]#: #[The units of $f'$ are units of $f$ per unit of $x.$][Las unidades de $f'$ son unidades de $f$ por unidad de $x.$]#
%Example
%If $f(x) = %12,$
#[then the calculation you did above suggests (correctly) that][entonces el cálculo que ya hiciste sugiere que]#
$f'(%13) = \lim_{h \to 0} \frac{f(%13+h) - f(%13)}{h} =$#[You need to have estimated the instantaneous rate of change above to see this answer.][Debes haver estimado la razón instantánea de cambio anterior para ver esta respuesta.]#
#[The cost to manufacture $x$ dumbbell sets per day at the
Taft Sports Factory is calculated to be][El costo de fabricar $x$ conjuntos de mancuernas a la
Fábrica de Deporte Taft se calcula a ser]#
$%31$ #[dollars][dólares]#.
#[Quick approximation of the derivative][Aproximación rápida de la derivada.]#
%Q #[Do we always need to make tables of difference quotients as above in order to calculate an approximate value for the derivative? ][iquest;És siempre necesario construir una tabla de valores de cocientes de las diferencias como arriba cada vez queremos estimar la derivada?]#
%A #[We can usually
approximate the value of the derivative by using a single, small, value of $h.$ In the example above, the value $h = 0.0001$ would have given a pretty good approximation. The problems with using a fixed value of $h$ are that (1) we do not get an exact answer, only an approximationof the derivative, and (2) how good an approximation it is depends on the function we're differentiating. However, with many of the functions you encounter, it is a good enough approximation.][Frecuentemente podemos
aproximar el valor de la derivada por uso de un solo y pequeño valor de $h.$ En el ejemplo más arriba, el valor $h = 0.0001$ hubiera dado una aproximación bastante buena. Los problemas usando un valor fijado de $h$ son (1) No obtenemos un valor exacto para la derivada; solo una
aproximación de la derivada, y (2) el grado de precisión depende de la función a la que estamos diferenciando. Sin embargo, con muchas de las funciones que consideramos, está bastante exacto.]#
#[Calculating a quick approximation of the derivative][Calculación de una aproximación rápida de la derivada]#
#[The following two formulas are often used to calculate an approximate value of $f(a):$][Las siguientes dos fórmulas se utiliza frecuentemente para calcular un valor aproximado de $f(a):$]#
#[Difference quotient][Cociente de las diferencias]#
$f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
#[with a small value of $h$ like $0.0001$.][con un valor pequeño de $h$ como $0.0001$.]#
#[Balanced difference quotient (used in many calculators)][Cociente balanceado de las diferencias (utilizado en muchas calculadoras)]#:
$f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$
#[with a small value of $h$ like $0.0001$. The balanced difference quotient often gives more a more accurate result than the ordinary difference quotient.][con un valor pequeño de $h$ como $0.0001$. El cociente balanceado de las diferencias frecuentemente da un resultado más exacto que el cociente ordinario de las diferencias.]#
#[Notation][Nocación]#: #[We write the derivative of $f$ at $a$ as $f'(a)$ (read "$f$ prime of $a$).][Escribimos la derivada de $f$ en $a$ como $f'(a)$ (se lee "$f$ prima de $a$).]#
%Examples
#[Difference quotient][Cociente de las diferencias]#
%If $f(x) = %12,$
#[then the calculation you (hopefully) did above gives][entonces el cálculo que (esperemos) ya hiciste anteriormente da]#
$f'(%13) \approx \lim_{h \to 0} \frac{f(%13+0.0001) - f(%13)}{0.0001} = %34.$
#[Balanced difference quotient][Cociente balanceado de las diferencias]#:
#[The height of a soccer ball kicked by
Javier "Chicharito" Hernández %57 is given by ][La altura de una pelota pateada por
Javier "Chicharito" Hernández %57 se da por]#
$h(t) = %54$ #[meters][metros]#,
#[where $t$ is time in seconds after he kicks it.][donde $t$ es el tiempo en segundos después de que la patea.]#
Now try the exercises in %4, some the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.
Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
Last Updated: August, 2015
Copyright © 2015
Última actualización: agosto 2015
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