#[Take me back to the even older exponents tutorial!][Regresame al tutorial aún más viejo sobre exponentes!]#
#[Positive exponents][Exponentes positivos]#
#[If $a$ is a real number and $n$ is a positive integer, then by $a^n$ we mean the quantity][Si $a$ es un número real y $n$ es un número entero positivo, entonces $a^n$ quiere decir la cantidad]# $a \cdot a\cdot a\ \cdots \ a \qquad$ ($n$ #[times][veces]#). %Therefore,
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#[A negative sign at the start of an expression indicates multiplication by $-1$. So, $-x^n$ means $(-1)x^n$ and is calculated using the standard order of operations: First take the power, and then multiply by $-1$.][Un signo negativo en el comienzo de una expresión indica la multiplicación por $-1$. Así, $-x^n$ significa $(-1)x^n$ y se puede calcularla a través del orden estándar de operaciones; Primero toma la potencia y luego multiplica por $-1$.]# #[For instance,][Por ejemplo,]#
$-3^2$ \t $= (-1)3^2$ \tab \t #[Meaning of negative sign at start of expression][Significado del signo negativo en el comienzo de expresión]#
\\ \t $= (-1)9$ \tab \t #[Calculate the power first.][Calcula la potencia primero.]#
\\ \t $= -9.$ \tab \t #[Multiply by −1.][Multiplica por −1.]#
#[Spreadsheets and some programming languages will interpret $-3^2$ (wrongly!) as $(-3)^2 = 9,$ so be on the lookout for that when working with your spreadsheet, where you should write it as $(-1)3^2$ to prevent that from happening.][Las hojas de cálculo y algunos lenguajes de programación interpretarión $-3^2$ (¡equivocadamente!) como $(-3)^2 = 9,$ así que estes atento cuando trabajas con hojas de cálculo, donde la debes escribir como $(-1)3^2$ para evitar que suceda eso.]#
#[Negative and zero exponents][Exponentes negativos y cero]#
#[If $a$ is a real number other than zero and $n$ is a positive integer, then we define][Si $a$ es un número real distinto de cero y $n$ es un número entero positivo, entonces definimos]#
#[Exponent identities
Part 1: Products, quotients and powers with a fixed base][Identidades del exponentes
Parte 1: Productos, cocientes y potencias con base fija]#
#[We use the following rules to combine exponential epxressions with the same base:][Usamos las siguientes reglas para combinar expresiones exponenciales con la misma base: ]#
Part 1: Products, quotients and powers with a fixed base][Identidades del exponentes
Parte 1: Productos, cocientes y potencias con base fija]#
#[Exponent identities Part 1][Identidades del exponentes Parte 1]#
#[Rule][Regla]# | %Examples | #[Comments][Comentarios]# | |||||||||||
1. $a^ma^n = a^{m+n}$ |
$2^32^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
$2^32^{-2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ $(-9)^4(-9)^{-2} = (-9)^{4-2} = (-9)^2 = 81$ $x^3x^4 = x^{3+4} = x^7$ $x^{-4}x^3 = x^{-4+3} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ |
#[If the bases in a product match, add the exponents. If the bases do not match the rule does not apply.][Si las bases en un producto son iguales, suma los exponentes. Si no son igulaes las bases, la regla no se aplica.]# #[To see why this rule holds in the case of positive exponents, notice that][Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que]#
$\qquad \quad (a+b)^n \neq a^n+b^n$ |
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2. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (%if $a \neq 0$) |
$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
$\dfrac{x^3}{x^4} = x^{3-4} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ $\dfrac{2^3}{2^{-2}} = 2^{3-(-2)} = 2^5 = 32$ $\dfrac{x^{-4}}{x^{-3}} = x^{-4-(-3)} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ $\dfrac{1}{x^{-3}} = \dfrac{x^0}{x^{-3}} = x^{0-(-3)} = x^3$ |
#[If the bases in a quotient match, subtract the exponents. If the bases do not match the rule does not apply.][Si las bases en una cociente son iguales, resta los exponentes. Si no son igulaes las bases, la regla no se aplica.]# #[Notice that this rule follows from cancellation in the case of positive exponents.][Observa que esta regla sigue de cancelación en el caso de exponentes positivos.]# #[The rule does not apply to differences: ][La regla no se aplica a diferencias: ]# $\qquad a^m-a^n \neq a^{m-n}$ |
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3. $\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$ (%if $a \neq 0$) |
$\dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}$
$5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$ $\dfrac{1}{5^-2} = 5^{-(-2)} = 5^2 = 25$ |
#[See "Negative and zero exponents" above.][Ve "Exponentes negativos y cero " arriba.]#
#[Rule 3 is actually a special case of Rule 2:][Regla 3 es en realidad un caso especial de la Regla 2:]#
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4. $(a^n)^m = a^{nm}\ $ |
$(2^3)^2 = 2^{3\times 2} = 2^{6} = 64$
$(x^3)^4 = x^{3 \times 4} = x^{12}$ $(2^{-3})^2 = 2^{(-3)\times2} = 2^{-6} = \dfrac{1}{64}$ $(x^{-3})^{-4} = x^{(-3)\times(-4)} = x^{12}$ |
#[Raising a power to a power corresponds to mutliplying the powers.][Elevar una potencia a una potencia corresponde a multiplicar las potencias.]# |
#[In each of the following, enter your answer in the form ][En cada una de las siguientes, ingresa tu respuesta en la forma ]# $a^n$ #[where $a$ is the given base, without redundant parentheses. If your answer has the form $a^1$ enter it is $a$ and if it has the form $a^0$ enter it as $1.$ Do not calculate the answer.][ donde $a$ es la base dada, sin paréntesis redundantes. Si la respuesta tiene la forma $a^1$ ingrésalo como $a$ y si tiene la forma $a^0$ ingrésalo como $1.$ No calcules la respuesta.]# | ||
#[Exponent identities
Part 2: Powers of products and quotients][Identidades del exponentes
Parte 2: Potencias de productos y cocientes]#
#[We use the following rules to calculate powers of products and powers of quotients:][Usamos las siguientes reglas para calcular potencias de productos y potencias de cocientes: ]#
Part 2: Powers of products and quotients][Identidades del exponentes
Parte 2: Potencias de productos y cocientes]#
#[Exponent identities Part 2][Identidades del exponentes Parte 2]#
#[Rule][Regla]# | %Examples | #[Comments][Comentarios]# | ||||||||
1. $(ab)^n = a^nb^n$ |
$(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \times 9 = 36$
$(2 \cdot 3)^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-2} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{36}$ $(4(-3))^{2} = 4^2 \cdot (-3)^2 = 16 \times 9 = 144$ $(xy)^{-4} = x^{-4}y^{-4}$ $(-xy)^3 = (-x)^3(y)^3$ |
#[The $n$th power of a product is the product of the $n$th powers.][La $n$ª potencia de un producto es el producto de las $n$ª potencias.]#
#[To see why this rule holds in the case of positive exponents, notice that][Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que]#
$\qquad (a+b)^n \neq a^n + b^n$ |
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2. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ (%if $b \neq 0$) |
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{3^4}{2^4} = \dfrac{81}{16}$
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2} = \dfrac{x^{-2}}{y^{-2}}$ $\left(\dfrac{1}{y}\right)^3 = \dfrac{1^3}{y^3} = \dfrac{1}{y^3}$ $\left(\dfrac{-2}{-3}\right)^2 = \dfrac{(-2)^2}{(-3)^2} = \dfrac{4}{9}$ |
#[The $n$th power of a quotient is the quotient of the $n$th powers.][La $n$ª potencia de un cociente es el cociente de las $n$ª potencias.]#
#[To see why this rule holds in the case of positive exponents, notice that][Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que]#
$\qquad (a-b)^n \neq a^n - b^n$ |
#[In each of the following, apply the two exponent identities above to obtain an answer of the form ][En cada una de las siguientes, aplica las dos identidades arriba para obtener una respuesta en la forma ]#
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#[Combining the identities][Combinando las identidades]#
#[In each of the following, fill in the missing exponents and other quantities and press "Check". (Raised boxes are exponents.) The final answer in each case should be as simplified as possible.][En cada una de las siguientes, rellena las cantidades faltantes y otras cantidades y pulsa "Verificar". (Cajas elevadas son exponentes.) La respuesta final en cada caso debe ser simplificada lo más posible.]#
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#[Positive exponent form and power form ][Forma potencia positivo y forma potencia]#
#[Consider, for example, the expression ][Considera, por ejemplo la expresión ]# $\dfrac{2}{3x^2}.$ #[We rewrite this expression in various different ways using the exponent identities and the rule for multiplication of fractions:][Podemos reescribir esta expresión en varias distintas maneras por usar las identidades del exponentes y la regla para la multiplicación de fracciones:]#
#[Very important! Make sure you are comfortable with each step in these calculations!][¡Muy importante! ¡Asegúrate de que eres comodo con cada paso en estos cálculos!]#
#[Positive exponent form and power form ][Forma exponente positivo y forma potencia]#
#[An expression in positive exponent form is one in which all exponents are positive.][Una expresión de la forma exponente positivo es una en la que todos los exponentes son positivos.]#
#[Expressions in positive exponent form are often written using fractions with powers of variables in the numerator and/or the denominator.][Expresiones en la forma exponente positivo son frecuentemente escritas usando fracciones con potencias de variables en el numerador y/o el denominador.]#
%Examples #[of expressions in positive exponent form][de expresiones de la forma exponente positivo]#
$\dfrac{3z^2}{4y^5} \qquad \dfrac{2}{4x^3} \qquad 3.5z^8 \qquad \dfrac{1}{x} \qquad \dfrac{3}{4} \qquad \dfrac{2}{x} - \dfrac{4x^3}{z}$
#[The following expressions are not in positive exponent form because they contain negative or zero exponents:][Las siguientes expresiones no son de la forma exponente positivo porque contienen exponentes negtivos o cero:]#
$\dfrac{3y^{-2}}{4y^5} \qquad \dfrac{2}{4x^{-3}} \qquad x^{-1} \qquad 3x^0 $
#[An expression in power form is one in which none of the variables appear as part of a fraction.][Una expresión es de la forma potencia si ningunas de variables aparece como parte de una fracción.]#
#[Expressions in power form are typically written as sums and differences of terms of the following form:][Expresiones en la forma potencia son típicamente escritas como sumas y restas de términos de la siguienta forma:]#
$ax^n$ $\qquad$ \t #[Term with one variable; $a$ = constant, $x$ = variable, $n$ = any power][Término con una variable; $a$ = constante, $x$ = variable, $n$ = cualquiera potencia]#
\\ $ax^my^n$ $\qquad$ \t #[Term with two variables; $a$ = constant, $x, y$ = variables, $n, m$ = any powers][Término con dos variables; $a$ = constante, $x, y$ = variables, $m, n$ = cualquieras potencias]#
\\ $ax^my^nz^k$ $\qquad$ \t #[Term with three variables; $a$ = constant, $x, y, z$ = variables, $n, m, k$ = any powers][Término con tres variables; $a$ = constante, $x, y, z$ = variables, $m, n, k$ = cualquieras potencias]#
%Examples #[of expressions in power form][de expresiones de la forma potencia]#
$4z^{-2} \qquad \dfrac{2}{3}x^{-1} \qquad 3 + x - x^2 \qquad 3x^2y^{-2} \qquad 4z^{-2} - 2y^{1/2}$
#[The following expressions are not in power form because they contain variables that appear in fractions:][Las siguientes expresiones no son de la forma potencia porque contienen variables que aparecen en fracciones:]#
$\dfrac{3x}{4} \qquad \dfrac{3y^{-2}}{y} \qquad \dfrac{2}{4y^{-3}} \qquad y + \dfrac{1}{y} \qquad \dfrac{2}{3x^{-1}}$
#[Converting to positive exponent or power form ][Convertiendo a la forma exponente positivo o potencia]#
#[We can use the exponent identities to convert expressions to one or other of the two forms just described: ][Podemos usar las identidades del exponentes para convertir expresiones a una u otra de las dos formas justo descritas: ]#
#[Expression][Expresión]#
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#[Positive exponent form][Forma exponente positivo]#
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#[Power form][Forma potencia]#
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$\dfrac{4x^{-4}}{7}$
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$\dfrac{4}{7x^4}$
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$\dfrac{4}{7}x^{-4}$
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$\dfrac{4}{7x^{-4}}$
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$\dfrac{4x^4}{7}$ #[or][o]# $\dfrac{4}{7}x^{4}$
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$\dfrac{4}{7}x^{4}$
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$\dfrac{2.1x^{-2}}{-2x^4}$
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$\dfrac{2.1}{-2x^6}$ #[or][o]# $-\dfrac{2.1}{2x^6}$ #[or][o]# $\dfrac{-1.05}{x^6}$
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$-1.05x^{-6}$ #[or][o]# $-\dfrac{2.1}{2}x^{-6}$
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$\dfrac{5y^{-2}x^6}{2yx^4}$
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$\dfrac{5x^2}{2y^3}$ #[or][o]# $2.5\dfrac{x^2}{y^3}$
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$2.5x^2y^{-3}$ #[or][o]# $\dfrac{5}{2}x^2y^{-3}$
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