Limits and continuity/Limites y continuidad

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%Goodies

To motivate the Fundamental Theorem of Calculus (see below) let us look at a cost function from the textbook (Example 1 in Section 6.4 of or Section 13.4 of ): Para motivar el teorema fundamental de cálculo (ve más abajo) consideremos una función costo del libro de texto (Ejemplo 1 de Sección 6.4 de o Sección 13.4 de ):

%Q The marginal cost of producing baseball caps at a production level of $x$ caps is $4 - 0.001x$ dollars per cap. What is the change of total cost if production is increased from $100$ to $200$ caps? El costo marginal para fabricar gorras de beisbol a un nivel de producción de $x$ gorras es $4 - 0.001x$ dólares por gorra. ¿Qué es el cambio en costo total si producción está crecido de $100$ a $200$ gorras?
%A We can answer this question in two ways: Podemos contestar esta pregunta en dos maneras:

Using an antiderivative:
Let $C(x)$ be the cost function. Because the marginal cost function is the derivative of the cost function, we have $C'(x) = 4 - 0.001x$, and so Usando una antiderivada:
Sea $C(x)$ la función costo. Ya que la función costo marginal es la derivada de la función costo, sabemos que $C'(x) = 4 - 0.001x$, y por lo tanto
We don't know the value of the constant $K$, but we don't really need to; we are asked to find the change in cost if production is increased from $100$ to $200$ caps, that is, $C(200) - C(100)$: No sabemos el valor de la constante $K$, pero en realidad no tenemos que saberla; solo queremos hallar es el cambio del costo si producción está crecido de $100$ a $200$ gorras; es decir, $C(200) - C(100)$:
Total change in costCambio total del costo \t = \t $C(200) - C(100)$ \\ \t = \t $[4(200) - 0.0005(200)^2 + K] - [4(100) - 0.0005(100)^2 + K]$ \\ \t = \t $[780 + K] - [395 + K]$ \\ \t = \t $\$385. \qquad$ The constant $K$ just cancels out! ¡El constante $K$ se anula!
Putting aside the actual details of the cost function for now, what this tells us is that: The total change of cost in going from $a$ items to $b$ is obtained by taking the antiderivative of the marginal cost, evaluating at $x = b$, evaluating at $x = a$, and then subtracting the answers.

Dejando a un lado por un momento los detalles de la función costo, lo que nos dice es: El cambio total en costo para ir desde $a$ artículos hasta $b$ se obtiene por tomar la antiderivada del costo marginal, evaluar en $x = b$, evaluar en $x = a$, y luego sustrear las respuestas.
But Wait! We also have this second way of doing this calculation based on the method in the previous tutorial: ¡Espera un momento! Tenemos también una otra manera hacer esta cálculo basada en el método de la sección anterior:
Using a definite integral:
Because $C'$ is the rate of change of the cost function $C$, the previous tutorial tells us that the total change in $C$ from $x = 100$ to $x = 200$ is Usando una integral indefinida:
Ya que $C'$ es la razón de cambio de la función costo $C$, la tutorial anterior nos dice que el cambio total en $C$ de $x = 100$ a $x = 200$ es
Total change in costCambio total del costo \t = \t $\int_{100}^{200} C'(x) dx \qquad$ \t Total change = antiderivative of rate of change Cambio total = antiderivada de razón de cambio
What this tells us is that: The total change of cost in going from $a$ items to $b$ is obtained by taking the definite integral of the marginal cost from $a$ to $b$.

Lo que nos dice esta es: El cambio total en costo para ir desde $a$ artículos hasta $b$ se obtiene por tomar la integral definida del costo marginal de $a$ a $b$.

Putting the two boxed statements above together, we see that

The definite integral of the marginal cost from $a$ to $b$ is obtained by taking its antiderivative, evaluating at $x = b$, evaluating at $x = a$, and then subtracting the answers.

The observation that this is true not only for marginal cost functions but for continuous functions in general is the central idea of the Fundamental theorem of calculus:

Juntando las dos declaraciones en caja más arriba, observamos que

La integral definida del costo marginal de $a$ a $b$ e obtiene por tomar su antiderivada, evaluar en $x = b$, evaluar en $x = a$, y luego sustrear las respuestas.

La observación que esto se aplica no solo a funciones del costo marginal sino a funciones continuas en general es la idea central del teorema fundamental de cálculo:

Fundamental theorem of calculus (FTC) Teorema fundamental de cálculo (TFC)

Let $f$ be a continuous function defined on the interval $[a, b]$ and let $F$ be any antiderivative of $f$. Then

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ Moreover, an antiderivative of f is guaranteed to exist.

%Q A technical point: What is meant by saying that $F$ is an antiderivative of $f$ when $f$ is only defined on a closed interval $[a, b]$? Un punto técnico: ¿Qué se significa por decir que $F$ es una antiderivada de $f$ cuando $f$ es solamente definida en un intervalo cerrado $[a, b]$?
%A It means that $F$ is a continuous function on $[a, b]$ such that $F'(x)$ exists and equals $f(x)$ for every $x$ in the open interval $(a, b)$. Significa que $F$ en una función continua en $[a, b]$ tal que $F'(x)$ esite y es igual a $f(x)$ para cada $x$ en el intervalo abierto $(a, b)$.

%Examples

Notation Notación Let us redo the second calculation above (non-game version), but this time we introduce some notation as we go: Rehagamos el segundo cálculo más arriba (versión no-juego), pero esta vez introducimos algo más de notación sobre la marcha:

$\int_{-1}^1 (-x^4 + 2x - 1) dx$ \t $ = $\t $\Bigl\[-\frac{x^5}{5} + x^2 - x\Bigr\]_{-1}^1 \qquad $ \t The square brackets followed by the numbers mean:
Put $x$ = the top limit, put $x$ = the bottom limit and subtract. Los corchetes seguidos por números significan:
Sustituye $x$ por el límite de arriba, sustituye $x$ por el límite de abajo, y resta. \\ \t = \tt $\Bigl(-\frac{(1)^5}{5} + (1)^2 - (1)\Bigr) - \Bigl(-\frac{(-1)^5}{5} + (-1)^2 - (-1)\Bigr)$ \\ \tt $\qquad \qquad $ ↑ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ ↑
%Substitute $x = 1. \qquad $ %Substitute $x = -1.$ \\ \t = \t $\qquad \Bigl(-\frac{1}{5} + 1 - 1\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{5} + 1 + 1\Bigr) = -\frac{12}{5}$

Fill in the correct formulas and values (use $C = 0$ as your arbitrary constant): Rellena las fórmulas y valores correctos (usa $C = 0$ como tu constante arbitraria):

Repeat for the following (again use $C = 0$ as your arbitrary constant): Repita para el siguiente (usa otra vez $C = 0$ como tu constante arbitraria):

If we remember that definite integrals are also areas, we can use the FTC to compute areas of regions bounded by curves. Consider the area in the $xy$-plane bounded by the $x$-axis, the vertial lines $x = %31$ and $x = %32$, and the curve $y = %30,$ as shown below (each grid step is one unit): Si recordamos que las integrales definidas también son áreas, podemos usar el TFC para calcular áreas de regiones acotadas por curvas. Considera la área en el plano-$xy$ acotado por el eje-$x$, las rectas verticales $x = %31$ y $x = %32$, y la curva $y = %30,$ como mostrada abajo (cada etapa de cuadrícula es una unidad):

Using substitution with the FTC Usando substitución con el TFC

It is often necessary to use substitution to evaluate integrals. When doing so for a definite integral, remember that the limits of integration are values of the variable of integration. For instance, in Es frecuentemente necesario usar substitución para evaluar integrales. Al hacer eso para una integral definida, recuerda que los límites de integración son valores de la variable de integración. Por ejemplo, en

$\int_0^2 3x(x^2 - 4)\.dx$ the variable of integration is $x$, and so the limits (0 and 2) are values of $x$ as well. When we change variables, we should also change these values to the corresponding values of the new variable as we now show: la variable de integración es $x$, y así los límites (0 y 2) son valores de $x$ también. Cuando cambiamos variables, debemos también cambiar estos valores a los valores correspondientes de la variable nueva como mostramos ahora:

Using the FTC with substitution Usando el TFC con substitución

When you change variables from, say, $x$ to $u$, you need to remember that the limits in the original definite integral are values of $x$, and not $u$. So it is a good idea to change the limits to values of $u$ when you make the substitution, as we see in the following example.

Cuando cambias variables, por ejemplo de $x$ a $u$, debes recordar que los límites en la integral definida son valores de $x$, y no $u$. Así, es una buen idea cambiar los límites a valores de $u$ cuando haces la substitución, como vemos en el siguiente ejemplo.

%Example Consider Considera $%48$.

You can now either try the exercises in Section 6.4 of or Section 13.4 of , some the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.

Puedes ahora probar los ejercicios en la sección 6.4 del libro o la sección 13.4 de , algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.