Recursos
Nota Para seguir este tutorial, debes saber como
graficar ecuaciones lineales y solucionar sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Desigualdades
Comenzamos por resumir algunos hechos sobre las desigualdades:
Calentamiento: Desigualdades
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Desigualdades estrictas
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| Notación | Significado | Ejemplos |
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$a \lt b$ | $a$ es menor que $b.$ | $4 \lt 6, \ \ -1 \lt 0$ | $a \gt b$ | $a$ es mayor que $b.$ | $6 \gt 4, \ \ 0 \gt -1$ |
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Desigualdades no estrictas
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| Notación | Significado | Ejemplos |
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$a \leq b$ | $a$ es menor o igual que $b.$ | $-1 \leq 2, \ \ 2 \leq 2$ | $a \geq b$ | $a$ es mayor o igual que $b.$ | $2 \geq -1, \ \ 2 \geq 2$ |
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Algunos ejemplos para ti
Manipulación de las desigualdades
Las siguientes reglas se expresan con $\leq$, pero aplican también a todas las otras desigualdades estrictas.
| Regla | Fórmula | Ejemplo |
|---|
Sumar o restar una cantidad de los dos lados: | $x \leq y \Rightarrow x \pm a \leq y \pm a$ | $x \leq 2y \Rightarrow x - 2y \leq 0$ | Multiplicar o dividir los dos lados de una desigualdad por una constante positiva. | $x \lt y $ y $a > 0 \Rightarrow ax \leq ay$ | $x \lt y \Rightarrow \frac{x}{4} \leq \frac{y}{4} $ | Multiplicar o dividir los dos lados de una desigualdad por una constante negativa y invertir la desigualdad. | $x \lt y $ y $a < 0 \Rightarrow ax \geq ay$ | $x \lt y \Rightarrow -4x \geq -4y $ | Intercambiar los lados izquierdo y derecho y invertir la desigualdad. | $x \lt y \Rightarrow y \geq x$ | $x \lt 2y \Rightarrow 2y \geq x $ |
Algunos ejemplos para ti
Nota Para el resto de este tutorial, vamos a discutir solamente las desigualdades no estrictas: $\leq$ y $\geq$, y de un tipo particular.
Desigualdades lineales con dos incógnitas
Los tipos de desigualdades que nos interesan aquí son los desigualdades (no estrictas)
lineales, espicificamente aquellos con dos incógnitas $x$ y $y$.:
Desigualdades lineales en x y y
Una
desigualdad lineal en $x$ y $y$ tiene la forma
$ax + by \leq c \quad$ o $\quad ax + by \geq c \qquad$
Ejemplos
| $3x - y \leq 5$ | | $a = 3, b = -1, c = 5$ |
| $y \leq 50$ | | $a = 0, b = 1, c = 50$ |
| $x \geq 0$ | | $a = 1, b = 0, c = 0$ |
Tambien,
$2y \leq 3x$ se puede reescribir como $-3x + 2y \leq 0$. ($a = -3, b = 2, c = 0$)
Soluciones de desigualdades lineales en x y y
Una
solución de una desigualdad con dos incógnitas $x$ e $y$ consiste en un par de números $(x, y)$: un valor para $x$ y un valor para $y$ que satisfacen la desigualdad.
Cómo dibujar el conjunto solución de una desigualdad linealax +
by ≤
c or
ax +
by ≥
c
- Dibuja la recta de la ecuación asociada $ax = by = c.$. Esta es la recta límite del conjunto solución.
- Escoge un "punto de prueba" $(x, y)$ fuera de la recta que dibujaste y comprueba si o no sus coordenadas satisfacen la desigualdad.
- Si la satisfacen, entonces el conjunto solución consiste en la recta más la región entera en el mismo lado que el punto que escogiste.
Si no, entonces el conjunto solución consiste en la recta más la región entera en el lado opuesto que el punto que escogiste.
- Sombrea en gris el resto del plano $xy$ (no sombreas el conjunto solución), así que el conjunto solución es la porción dejado en blanco.
Ejemplos
Las soluciones de $3x + 2y \leq 4$ incluyan todas las soluciones de la
ecuación asociada $3x + 2y = 4$ (representada por los puntos de la recta correspondiente, como $(2, -1)$) así como otras que representan puntos
debajo de la recta, como $(0, 0)$ porque también satisfacen la desigualdad:
$3(2) + 2(-1) \leq 4$ \t ✓
\\ $3(0) + 2(0) \leq 4$ \t ✓
Algunos ejemplos para ti
Decide cuáles de los siguientes son soluciones de $3x + 2y \leq 4$
Dibujando el conjunto solución
Nota Hemos dejado en blanco el conjunto solución por "agrisar" el resto del plano. Esto es la técnica utilizada aquí y también en el libro de texto, y simplifica en gran medida el trabajo solucionar desigualdades simultáneas como veremos a continuación.
Considera la siguiente desigualdad:
Primero, determina la recta de límite usando la siguiente gráfica. (Ajusta la recta por arrastrar los puntos marcados con "x" y pulsa "Verificar".)
Resolviendo desigualdades simultáneas
La solución de un sistema de dos o más desigualdades en $x$ e $y$ es el conjunto de puntos $(x, y)$ que satisacen
todas las desigualdades.
Cómo dibujar el conjunto solución de un sistema- Determina el conjunto solución de la primera desigualdad.
- Sombrea en gris el resto del plano-$xy$ (no sombrees el conjunto solución).
- Repite (1) y (2) para cada desigualdad subsiguiente.
- Al terminar, la parte del plano dejada en blanco, más su frontera, es el conjunto solución.
Ejemplos
Considera el sistema
$3x + 2y \leq 4$
$x - 2y \leq 0$
Pasos (1) y (2) para $3x + 2y \leq 4$
Conjunto solución
para $3x + 2y \leq 4$
|
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Pasos (1) y (2) para $x - 2y \leq 0$
Conjunto solución
para $x - 2y \leq 0$
|
Resultado:
Conjunto solución
para el sistema |
Considera el siguiente sistema:
Primero, determina la recta de límite para la
primera desigualdad usando la siguiente gráfica. (Ajusta la recta por arrastrar los puntos marcados con "x" y pulsa "Verificar".)
Aplicación: Configurando un sistema de desiguldades lineales
La compañía %30
Rechupete hace dos marcas de %30 para los vendedores: %31, usando %51 de %34 y %53 de %35 por %33, y %32, usando %52 de %34 y %54 de %35 por %33. Cada día la empresa utiliza un total de %38 %55 %36s de %34 y %39 %56 %36s de %35. Los estatutos de la compañía estipulan que fabricar %40 %41 veces tanto %42 como %43. Sea $x$ el número de %37 de %31, and sea $y$ el número de %37 de %37 of %32.
Expresar estas limitaciones como un sistema de desigualdades lineales en $x$ and $y:$:
Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar "siguiente tutorial" ubicado a la izquierda.
Última actualización: agosto 2016
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