#[Before we talk about integration by parts, here is a quick review and warmup on shortcuts for integrating expressions involving $(ax + b).$][Antes de hablar de integración por partes, aquí hay un resumen y calentamiento sobre atajos para integrar expresiones involucrando $(ax + b).$]#

#[Integration by parts: Formula and tabular method][Integración por partes: Fórmula y método tabular]#

Integration by parts is an integral analogue of the product rule for derivatives, although its formula is a little more complicated. However, you do integration by parts using the tabular method we show here you will not need to use any formulas at all, and the method is so simple that, when you are done with this tutorial, you will wonder why everyone else has so much trouble with this topic! Integración por partes es un análogo de la regla del producto para derivadas, aunque su fórmula es un pocito más complicada. Aunque, cuando haces integración por partes a través del método tabular mostramos aquí no necesitarás ningunas fórmulas, y el método es tan simple que, al terminar este tutorial, te preguntarás por qué todos los demás tienen ¡tantos problemas con este tema!

%Q #[But I have been told that the tabular method only works for specific types of integration by parts problems. Is that true?][Por lo que he escuchado, el método tabular solo se aplica a tipos específicos de problemas integración por partes. ¿És verdad?]#
%A #[Not true. The tabular method as we present it works for every type of integration by parts problem, so you will never need to know the traditional old fashioned traditional way of doing integration by parts that your friends are struggling with.][No es verdad. El método tabular como lo presentamos aquí se aplica a cada tipo de problema integración por partes, y por lo tanto nunca tendrás que saber el método tradicional anticuado hacerlo que da tanta dificultad a tus amigos.]#

#[First, a little notation: If $u$ is a function, denote its derivative by $D(u)$ and an antiderivative by $I(u)$. Thus, for example, if $u = 2x^2$, then][Primero, un poco de notación: Si $u$ es una función, denotar si derivada por $D(u)$ y un antiderivada por $I(u)$. Así, por ejemplo, si $u = 2x^2$, entonces]#

$D(u) = 4x, \quad$ %and $\quad I(u) = \frac{2x^3}{3}$.

#[(If we wished, we could instead take $I(u) = \frac{2x^3}{3} + 46$, but we usually opt to take the simplest antiderivative.)][(Si prefiriéramos, podríamos tomar $I(u) = \frac{2x^3}{3} + 46$, pero usualmente optamos par la antiderivada más simple).]# %Q #[What's the big deal about using the table? It seems more complicated than the formula!][¿Qué es la gran cosa con usar la tabla? ¡Parece más complicado que la fórmula!]#
%A #[Patience, patience! First notice what the table says: To find the integral of the product of the two functions in the first row,

$\int (x)(e^x) dx$,

you need to know the integral of the product in the second row, which is much simpler:

$\int (1)(e^x) dx$.

But why stop there?: Do the process again to get a third row:][¡Tranquilo. tranquilo! Primera observa lo que dice la tabla: Para integrar el producto de los dos funciones en el primero renglón,

$\int (x)(e^x) dx$,

debes saber la integral del producto en el segundo renglón, que es mucho más sencillo: $\int (1)(e^x) dx$. ¿Pero por qué terminarías aquí?: Haz el proceso de nuevo para obtener un tercero renglón:]#

\t $D$ \t \t $I$ \\ + \t $x$ \t \drarr \t $e^x$ \\ − \t $1$ \t \drarr \t $e^x$ \\ +\redint \t 0 \t \rarr \t $e^x$

#[Notice how the signs on the left alternate. (Reason: The product in the second row has a negative sign, and this gets reversed by the formula for integration byparts.).][Observa como alternan los signos a la izquierda. (Razón: El producto en el segundo renglón tiene un signo negativo, y esto se hace cambiado por la fórmula para integración por partes).]#

#[The product of the functions in the third row is just zero, so its integral is just zero! (we will add the constant of integration at the end). So, reading the table by following the arrows gives us the answer in just one step!:][El producto de las funciones en el tercero renglón es cero, y así ¡su integral es simplemente cero! (Añadiremos el constante de integración al final). Así, leyendo la tabla por seguir las flechas nos da la respuesta ¡en solo un paso!:]#

$\int xe^x dx = (x)e^x - (1)e^x + 0 + C = xe^x - x + C$

#[In general, if we have any polynomial at all in the D column, we can simply keep differentiating it until we eventually get zero (and adding the corresponding number of rows) as we see in the quiz questions that follow.][Por lo general, si tenemos cualquier polinomio en la columna D, podemos simplemente seguir diferenciándolo hasta que obtenemos cero (y añadiendo el número correspondiente de renglones) como veremos en las preguntas que siguen.]#

#[In each of the following, fill in the missing values in the table to obtain the integral.][En cada uno de los siguientes, rellena los valores faltantes en la tabla para obtener la integral.]#

#[Integrating polynomials times logarithms][Integración de polinomios por logarítmos]#

From the examples so far, it seems that the technique is to put a polynomial in the left column and differentiate it until you get zero so as to avoid doing the integral in the last row, but that does not always work, as we will see now: Basado en los ejemplos hasta ahora, parece que la técnica es poner un polinomio en la columna izquierda y diferenciarlo hasta obtienes cero para evitar hacer la integral en el último renglón, pero eso no funciona siempre, como veremos ahora:

#[Calculate][Calcula]# $\int \ln x dx$.

%Q #[Wait! That is not a product at all! (I know that some people are going to think it is "ln" × $x$, but I know it means "ln of $x$".) So, how are we supposed to integrate something that is not a product using integration by parts?][¡Espera! ¡Eso no es un producto en absoluto! (Se que algunas personas pensarán que es "ln" × $x$, pero yo se que significa "ln de $x$".) Entonces ¿cómo se supone vamos a integrar algo que no es un producto con integración por partes?]#
%A #[Here's how. Write ][He aquí cómo. Escribe ]# $\ln\.x$ as $(1)(\ln\.x)$ #[and then use integration by parts on this product.][y luego aplica integración por partes a este producto.]#

%Q #[Ok that's easy! Just put the $1$ in the $D$-column and the $\ln\.x$ in the $I$-column, right?][¡Entonces eso es fácil! Pon el $1$ en la columna-$D$ y el $\ln\.x$ en la columna-$I$, ¿correcto?]#
%A #[Wrong. If we try that we get nowhere, as we do not know what to put under the $\ln\.x$:][Incorrecto. Si lo probamus no llegamos a ninguna parte, ya que no sabemos qué poner debjao de $\ln\.x$:]# #[Knowing what to put there amounts to knowing the answer:][¡Saber qué poner allí equivile saber la respuesta:]# $\int \ln x\.dx$! #[So, we are forced to put $\ln x\.dx$ in the $D$-column and $1$ in the $I$-column:][Así, nos vemos obligados a poner $\ln x\.dx$ en la columna-$D$ y $1$ en la columna-$I$:]# #[and we can stop right there as we know how to integrate the product in the second row (try adding a next row and you will see that things start getting more complicated; we will never get a $0$ in the $D$-column that way).][y podemos parar exactamente allí pues sabomos como integrar el producto en el segundo renglon (prueba añadir un tercer renglón y verás que las cosas se empiecen a complicarse; numca obtenremos un $0$ en la columna-$D$ así).]# $\int \ln x\.dx$ \t $\down[-3px]{ = }$ \t $(\ln\.x)(x) - \int \frac{1}{x}(x) dx$ \\ \t = \t $ (\ln\.x)(x) - \int (1) dx$ \\ \t = \t $x\.\ln\.x - x + C$ #[and we have integrated the natural locarithm!][¡y hemos integrado el logaritmo nartural!]#

$\int \ln x\.dx = x\.\ln\.x - x + C$

#[Exactly the same technique works for integrating any polynomial times a logarithm:][Exactamente el mismo técnica se aplica a integrar cualquier polinomio por un logaritmo:]#

%Q #[What about integrals involving trig functions, like ][¿Y qué de inegrales involucrando funciones trigonométricas, como ]# $\int e^{ax}\cos(bx) dx$?
%A Trigonometric functions are not covered in this chapter of the book, but these integrals can also done (very easily!) by the tabular method. See Section 9.3 of or Section 16.3 of . Alterntaively, watch the second Prof X -Squared video. Funciones trigonométricas no se tratan en este capitulo del libro, pero estas integrales también se puede hacer (¡muy facilmente!) por el método tabular. Ve la sección 9.3 de o la sección 16.3 de . Alternativamente, ve el segundo video por Prof X -Cuadrado (inglés).