Limits: Numerical and graphical viewpoints/Limites: Enfoques numerico y algebraico

Take me back to the old tutorial! ¡Regrésame al tutorial más viejo!

%Goodies

Estimating limits graphicallyEstimando límites gráficamente

The following diuscussion is based on Example 4 in Section 3.1 in Applied Calculus or Section 10.1 in Finite Mathematics and Applied Calculus.
Take a look at the following graph of a certain rather strange function $f$ (each grid division represents 1 unit): La discusión que sigue es basada en Ejemplo 4 en la Sección 3.1 del libro Applied Calculus o la Sección 10.1 de Finite Mathematics and Applied Calculus.
Échale un vistazo a la siguiente gráfica de una función $f$ bastante extraña (cada división de la cualdrícula representa 1 unidad):

Por examinar la gráfica, vamos a estimar $\lim_{x \to 1} f(x).$ Si estuvimos estimando el límite numéricamente, necesitaríamos una tabla de valores de $f(x)$ para $x$ cercana a y en ambos lados del valor 1. Para estimar el límite gráficamente, es decir, de su gráfica, usamos en cambio el siguiente procedimiento: From the graph, let us estimate $\lim_{x \to 1} f(x).$ If we were estimating the limit numerically, we would need a table of values of $f(x)$ for $x$ close to and on either side of the value 1. To esitmate the limit graphically, that is, from its graph, we instead use the following procedure:

Estimating limits graphically Estimación de Límites Gráficamente To decide whether $\lim_{x \to a} f(x)$ exists, and to find its value if it does, use the following procedure: Para decidir si existe $\lim_{x \to a} f(x)$, y para estimar su valor en aquel caso, usa el siguiente procedimiento:
Step 1 We start by esimtating the right limit, $\lim_{x \to a^+} f(x)$. Position your pencil point on a point of the graph of the function a little to the right of $x = a$. Paso 1 Empezamos con la estimación del límite derecho, $\lim_{x \to a^+} f(x)$. Pone la punta de tu lápiz en la gráfica de la función un poco a la derecha de $x = a$.<	%Example In the example illustrated, we are estimating $\lim_{x \to 1} f(x)$, so we have $a = 1$. Therefore, we position our pencil point (the red square %6 in the figure below) on the graph a little to the right of $x = 1$, at, say, $x = 1.5$ as shown: En el ejemplo mostrado arriba, estamos estimando $\lim_{x \to 1} f(x)$, y así tenemos $a = 1$. Por lo tanto, ponemos la punta de nuestra lápiz (el cuadrado rojo %6 en la figura abajo) en la gráfica un poco a la derecha de $x = 1$, en, por ejemplo, $x = 1.5$ como se muestra a continuación:
Step 2 Move the point along the graph toward $x = a$ from the right and track the $y$-coordinate as you go. The value the $y$-coordinate approaches (if any) is then the limit Paso 2 Mueve la punta del lápiz a lo largo de la gráfica hacia $x = a$ desde la derecha y sigue la pista de la coordenada-$y$ al avanzar. El valor al que tiende la coordenada-$y$ (si lo hay) es el límite $\qquad \lim_{x \to a^+} f(x)$.	%Example Continuing with the example we are doing, gradually move your pencil point %6 along the graph towards $x = 1$, and watch the $y$-coordinate as you do so. (Press "Run" under the graph to see this happen.) Notice that the $y$-coordinate approaches 0.5 as $x$ approaches 1 from the right. Therefore, Continuando con el ejemplo que estamos analizando, gradualmente mueve la punta de tu lápiz %6 hacia $x = 1$ a lo largo de la gráfia, y sigue la coordenada-$y$ al avanzar. (Pulsa "Correr" bajo la gráfica para ver una animación.) Observa que la coordenada-$y$ se acerca a 0.5 a medida que $x$ se acerca a 1 desde la derecha. Por lo tanto, $\qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0.5$.
Step 3 Repeat Steps 1 and 2, but this time starting from a point on the graph to the left of $x = a$, and approach $x = a$ along the graph from the left. The value the $y$-coordinate approaches (if any) is then Paso 2 Repite pasos 1 y 2, pero esta vez comenzando en un punto de la gráfica a la izquierda de $x = a$, y muévelo hacia $x = a$ a lo largo de la gráfica desde la izquierda. El valor al que tiende la coordenada-$y$ (si lo hay) es entonces $\qquad \lim_{x \to a^-} f(x)$.	%Example This time, starting from the left of $x = 1$ as shown, gradually move your pencil point %6 along the graph towards $x = 1$, and watch the $y$-coordinate as you do so. (Press "Run" under the graph to see this happen.) Notice that the $y$-coordinate again approaches 0.5 as $x$ approaches 1 from the right. Therefore, Esta vez, empezando a la izquierda de $x = 1$ como se muestra, gradualmente mueve la punta de tu lápiz %6 a lo largo de la gráfia hacia $x = 1$, y sigue la coordenada-$y$ al avanzar. (Pulsa "Correr" bajo la gráfica para ver una animación.) Observa que la coordenada-$y$ se acerca otra vez a 0.5 a medida que $x$ se acerca a 1 desde la derecha. Por lo tanto, $\qquad \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0.5$.
If the left and right limits both exist and have the same value $L$, then, as we learned in the %2 Si existen los límites derecho y izquierdo y tienen el mismo valor $L$, entonces, como aprendimos en %2, $\qquad \lim_{x \to a} f(x) $ exists and equals $L$.existe y es igual a $L$.	In our example, the left and right limits both exist and equal $0.5$, and so En nuestro ejemplo, los límites derecho y izquierdo existen y tienen el mismo valor de $0.5$, y por lo tanto $\qquad \lim_{x \to 1} f(x) = 0.5$.

Referring to the graph, estimate the following: Por recurrir a la gráfica, estima los siguentes:

Vertical asymptotesAsíntotas verticales

Suppose you are asked to estimate $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ where $g$ has the following graph: Supongamos que quieres estimar $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ donde $g$ tiene el siguiente gráfica:

If you run the animation to estimate the limit, you notice that the $y$-coordinate gets larger and larger positive without bound as $x$ approaches 0 from the left (the pencil point keeps going up even though you can't see it once it leaves the small portion of the graph shown). This is exactly the situation we saw in %2 when we talked about infinite limits: Si corres la animación para estimar el límite, te da cuenta de que la cooredenada-$y$ se hace arbitrariamente grande positivo sin límite (el punto de lápiz sigue subiendo aún no lo puedes ver una vez que sale de la porción pequeña de la gráfica que vemos). Esto es exactamente la situación vimos en %2 cuando hablamos de los límites infinitos: $g(x)$ %divto $+\infty$ %as $x \to 0$, %or $\lim_{x \to 0^-} g(x) = +\infty.$ The same happens as we approach 0 from the right, and so we have Es mismo ocurre cuando nos acercamos a 0 por la derecha, y así concluimos $\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty.$ and so y por lo tanto $\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty.$

Referring to the graph, estimate the following: Por recurrir a la gráfica, estima los siguentes:

You can now either try the exercises on estimating limits graphically in Section 3.1 of or Section 10.1 of , some the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar..

Puedes ahora probar los ejercicios sobre la estimación de límitges gráficamente en la sección 3.1 del libro o la sección 10.1 de , algunos de los %8, o seguir con la parte B de este tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.