Tutorial: Two linear equations in two unknowns/dos ecuaciones con dos incógnitas

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#[Resources][Recursos]#

%Q #[Just what is a "system of linear equations in two unknowns?"][Exactamente ¿qué es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?]#
%A #[First, a linear equation in two unknowns $x$ and $y$ is an equation of the form

$ax + by = c$%where $a,\ b,$ %and $c$ are numbers. Here are some examples:][Primero, una ecuación lineal con dos incógnitas $x$ e $y$ es una ecuación de la forma

$ax + by = c$%where $a,\ b,$ %and $c$ son números reales. A continuación tenemos unos ejemplos:]#

$4x + 5y = 0$ \t $a = 4,\ b = 5,\ c = 0$ \\ $x - y = 11$ \t $a = 1,\ b = -1,\ c = 11$ \\ $4x = 3$ \t $a = 4,\ b = 0,\ c = 3$

#[Second, a system of two or more linear equations is just a collection of such beasts, for instance,][Segundo, un sistema de dos o más ecuaciones lineales es un conjunto de tales bestias, por ejemplo,]#

$4x + 5y = 40 \quad$ \t #[A system of two linear equations in two unknowns][Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas]# \\ $x - y = 1$

#[In this tutorial we are interested in solutions to linear equations or systems of linear equations.][En este tutorial estamos interesados en soluciones de ecuaciones lineales o sistemas de ecuaciones lineales.]#

#[Solutions of a linear equation][Soluciones de una ecuación lineal]#

#[A solution of an equation in $x$ and $y$ consists of a pair of numbers $(x, y)$: a value for $x$ and a value for $y$ that satisfy the equation.][Una solución de una ecuación con dos incógnitas $x$ e $y$ consiste en un par de números $(x, y)$: un valor para $x$ y un valor para $y$ que satisfacen la ecuación.]#

%Examples

1. #[The equation $3x + 2y = 4$ has a solution $x = 2,\ y = -1,$ or $(x, y) = (2, -1),$ because substituting $x = 2$ and $y = -1$ in the equation makes it a true statement:][La ecuación $3x + 2y = 4$ tiene $x = 2,\ y = -1,$ o $(x, y) = (2, -1),$ como una solución, porque sustituyendo $x = 2$ e $y = -1$ en la ecuación la convierte en una declaración verdadera:]#

✓

#[That is not the only solution; in fact there are infinitely many solutions, including ][Esto no es la única solución; de hecho hay un número infinito de soluciones, incluyendo ]#

#[Put $x = $ any value you like in the last one to get the corresponding solution.][Sustituya $x = $ cualquier valor que te gusta en el último par para obtener la solución correspondente.]#

(#[We obtained the $y$-coordinate of the last solution shown by solving the equation $3x + 2y = 4$ for $y$.)

The solutions $(-1,\sfrac{7}{2}),\ \ (0, 2),\ \ (1, \sfrac{1}{2}),\ \ (2, -1),\ \ (3, -\sfrac{5}{2}),$ and $(4, -4)$ are called particular solutions. The solution][Obtuvimos la coordenada-$y$ de la última solución mostrada por despejar la $y$ en la ecuación $3x + 2y = 4.$)

Las soluciones $(-1,\sfrac{7}{2}),\ \ (0, 2),\ \ (1, \sfrac{1}{2}),\ \ (2, -1),\ \ (3, -\sfrac{5}{2}),$ y $(4, -4)$ se llaman soluciones particulares. La solución]#

$\left(x, \sfrac{1}{2}[4-3x]\right)$ #[is called the general solution, as it includes all the particular solutions. For instance, substituting $x = -1$ gives the first particular solution listed, substituting $x = 0$ gives the second, and so on.][se llama la solución general, ya que incluya todas las soluciones particulares. Por ejemplo, sustituyendo $x = -1$ nos da la preimera solución mostrada, sustituyendo $x = 0$ nos da la segunda, y así en forma parecido.]#

#[Graphically, the solutions are just the points on the line $3x + 2y = 4:$][Gráficamente, las soluciones son los puntos en la recta $3x + 2y = 4:$]#

2. #[Enter three particular solutions and then the general solution of the equation $%15=%16.$][Ingresa tres soluciones particulares y luego la salución general de la ecuación $%15=%16.$]#

Enter particular solutions in the form (x,y). Example: (5,-8)

Ingresa soluciones particulares en la forma (x,y). Ejemplo: (5,-8)

#[Solutions of systems linear equations][Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales]#

#[A solution of a system of two or more equations in $x$ and $y$ consists of a pair of numbers $(x, y)$ that is simultaneously a solution to every equation in the system.][Una solución de un sistema de dos o más ecuaciones en $x$ e $y$ consiste en un par de números $(x,y)$ que es simultáneamente una solución de cada ecuación en el sistema.]#

%Examples

#[The system][El sistema]#

#[has a solution $(x, y) = (-1, 3),$ because $(-1, 3)$ is a solution to both equations:][tiene $(x, y) = (-1, 3),$ como una solución, porque $(-1, 3)$ es una solución de ambas ecuaciones:]#

✓

#[In fact, $(-1, 3)$ is the unique solution to the above system (meaning the only solution). We can see why graphically: The solutions to the first equation consist of all the points on the line $2x + y = 1$, and the solutions to the second consists of all the points on the line $x - y = -4.$ Thus a solution to the system consists of all points simultaneously on both lines. As those two lines cross in a single point, that point is therefore the only solution:][De hecho, $(-1, 3)$ es la solución única del sistema arriba. Podemos ver por qué gráficamente: Las soluciones de la primera ecuación son todos los puntos de la recta $2x + y = 1$, y las soluciones a la segunda son todos los puntos de la recta $x - y = -4.$ Así, las soluciones del sistema son todos los puntos simultáneamente en ambas rectas. A medida que las dos rectas se cruzan en un solo punto, ese punto es, por lo tanto, la única solución:]#

#[Solving systems with two unknowns graphically:][Solucionar sistemas con dos incógnitas gráficamente:]#

#[The above example suggests a way to find solutions to systems of equations graphically:][El ejemplo arriba sugiere una manera de hallar soluciones de sistemas de ecuaciones gráficamente:]#

#[Solving a system of two linear equations graphically][Solucionar un sistema de dos ecuaciones lineales gráficamente]#

#[For a point to represent a solution to a system of two linear equations ihn two unknowns, it must lie simultaneously on both of the corresponding lines. In other words, it must be a point where the two lines cross, or intersect.

Thus, to find solutions to such a system graphically, plot the graphs, and locate the intersection points (if any).][Para que un punto represente una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, debe estar simultáneamente en ambas de las rectas correspondientes. En otras palabras, debe ser un punto donde las dos rectas se cruzan, o se intersecten.

Por lo tanto, para hallar gráficamente soluciones de tal sistema, trazar las gráficas, y localizar los puntos de intersección (si los hay).]#

%Examples

%System: $2x + y = 4$ $2x - 3y = 0$	#[Graph:][Gráfica:]#	%Solution: $(x,y) = (1.5,1)$ $\quad$ (%Uniquesolution)
%System: $%20$ $%21$	#[Graph:][Gráfica:]# #[Adjust the lines by dragging the points marked with "x".][Ajuste las rectas por arrastrar los puntos marcados con "x".]#	%Solution:

%System: $x - 2y = -2$ $x - 2y = 2$	#[Graph:][Gráfica:]#	%Solution: #[No solution][No hay solución.]# (#[The lines are parallel and so do not intersect.][Las rectas son paralelas y así no se intersectan.]#) #[A system of linear equations with no solutions is called inconsistent. (After all, in this case how can $x-2y$ be equal to both $-2$ and $2$ at the same time?)][A un sistema de ecuaciones linear sin soluciones se llama inconsistente. (Después de todo, en este caso ¿Cómo puede ser $x-2y$ igual a ambos $-2$ y $2$ al mismo tiempo?) ]# #[By contrast, systems with one or more solutions are called consistent.][Por el contrario, a los sistemas con una o más soluciones se llaman consistente.]#
%System: $-x + y = 1$ $2x -2y = -2$	#[Graph:][Gráfica:]# $\color{indianred}{(x, 1+x)}$	%Solution: #[There are infinitely many solutions.][Hay un número infinito de soluciones.]# (#[Both equations are represented by the same line, and every point on this line corresponds to a solution.][Las dos ecuaciones se representadan por la misma recta, y cada punto en esta recta corresponde a una solución.]#) #[$(-1,0)$ and $(1,2)$ are two particular solutions shown on the graph. In general, given any $x$, there is a corresponding point on the graph with $y = x+1.$ (Solve the equation $-x + y = 1$ for $y.$) The resulting solution $(x, x+1)$ is called the general solution. Systems in which two or more equations represent the same line are called redundant systems.][$(-1,0)$ y $(1,2)$ son dos soluciones particulares mostradas en la gráfica. Por lo general, dada cualquier $x$, hay un punto correspondente en la gráfica con $y = x+1.$ (Despeja $y$ en la ecuación $-x + y = 1.$) La solución resultante $(x, x+1)$ se llama la solución general. A sistemas en los que dos o más ecuaciones representan la misma recta se llaman sistemas redundantes.]#

%System: $%30$ $%31$	#[Graph:][Gráfica:]# #[Adjust the lines by dragging the points marked with "x".][Ajuste las rectas por arrastrar los puntos marcados con "x".]#

%System: $%32$ $%33$	#[Graph:][Gráfica:]#
%System: $%34$ $%35$	#[Graph:][Gráfica:]#

#[Systems of three or more equations:][Sistemas de tres o más ecuaciones:]#

%Q #[As two equations are sufficient to obtain a solution, why bother with more?][Ya que dos ecuaciones son suficientes para obtener una solución, ¿por qué molestarse con más?]#
%A #[Here is one reason: Linear equations often arise in real world situations as "constraints" or requirements, as you will see when you get to the applications part of this tutorial. But the real world does not concern itself with knowing that two linear equations suffice to obtain the solution, and so it can happen that a real situation gives rise to any number of equations whatsoever.][Aquí está una razón: ecuaciones lineales a menudo surgen en situaciones del mundo real como "restricciones" o requisitos, como verás cuando llegas a la parte de este tutorial que trata de aplicaciones. Pero el mundo real no se preocupa por conocer que dos ecuaciones lineales son suficientes para obtener la solución, y así puede suceder que una situación real se conduce a cualquier número de ecuaciones de ningún tipo.]#

%Q #[Ok, so we know that with two equations, the lines can either intersect (unique solution), be on top of each other (infinitely many solutions) or be parallel (no solutions).What can happen with three or more?][Muy bien, por tanto sabemos que con dos ecuaciones, las rectas se pueden intersectar (solución única), estar la una encima de la otra (un número infinito de soluciones) o ser paralelas (ningunas soluciones). ¿Qué puede suceder con tres o más?]#
%A #[With any number of linear equations there are still three possibilities as there are with two: a unique solution, infinitely many solutions, or no solution. The following figure illustrates some ways these possibilities can arise with three equations.][Con cualquier número de ecuaciones lineales todavía hay tres posibilidades como hay con dos: una solución única, un número infinito de soluciones, o ninguna solución. La siguiente figura ilustra unas maneras enlas que estas posibilidades se pueden presentarse con tres ecuaciones.]#

$\color{red}{2x+y=4} \quad \color{green}{3x-2y=6} \quad \color{blue}{x-2y=2}$ #[Unique solution
All three lines intersect at the same point.][Solución única
Todos tres rectas se intersectan en el mismo punto.]#

$\color{red}{2x+y=4} \quad \color{green}{-2x+4y=-4} \quad \color{blue}{x-2y=2}$ #[Unique solution
two of the lines are the same, and the third intersects them.][Solución única
Dos de las rectas son las mismas, y la tercera las intersecta.]#

$\color{red}{x+2y=4} \quad \color{green}{-x+y=1} \quad \color{blue}{x-2y=0}$ #[No solution The lines intersect, but not at a single point.][Ningún solución Las rectas se intersectan, pero no en un solo punto.]#	$\color{red}{x+2y=4} \quad \color{green}{-x+y=1} \quad \color{blue}{x+2y=-2}$ #[No solution The lines intersect, but not at a single point.][Ningún solución Las rectas se intersectan, pero no en un solo punto.]#

$\color{red}{x+2y=4} \quad \color{green}{x+2y=0} \quad \color{blue}{x+2y=-2}$ #[No solution All three lines are parallel.][Ningún solución Todas tres rectas son paralelas.]#

$\color{red}{-x+2y=-2} \quad \color{green}{-2x+4y=-4} \quad \color{blue}{x-2y=2}$ #[Infinitely many solutions
All three lines are the same.][Un número infinito de soluciones
Las tres rectas son las mismas.]#

%System:

$\color{green}{%50}$
$\color{red}{%51}$
$\color{blue}{%52}$

#[Graph:][Gráfica:]#

#[Adjust the lines by dragging the points marked with "x". Note: The line colors must match the equation colors.][Ajuste las rectas por arrastrar los puntos marcados con "x".Nota: Los colores de las rectas deben coincidir con los de las ecuaciones.]#

Now try some of the exercises in %12, some of the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.

Ahora prueba algunos de los ejercicios en %12, algunos de los %8, o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.