Marginal analysis/Análisis marginal

Note To follow this section, you should be familiar with cost, revenue, and profit functions and know how to find derivatives of derivatives of powers, sums and constant multiples.

Nota Para seguir esta sección, debes ser familiarizado con las funciones de costo, ingresos, y utilidad y saber como determinar derivadas de derivadas de potencias, sumas, y múltiplos constantes.

#[Marginal cost][Costo marginal]#

#[We already know that a cost function $C$ specifies the total cost as a function of the number of items $x$, so that $C(x)$ is the total cost of $x$ items. The marginal cost function is the derivative $C'$ of the cost function $C$. Thus, $C'(x)$ measures the rate of change of cost with respect to $x$.][Ya sabemos que una función de costo $C$ especifica el costo total en función del número de artículos $x$, de modo que $C(x)$ es el costo total de $x$ articulos. La función de costo marginal es la derivada $C'$ de la función costo $C$. Así, $C'(x)$ mide la tasa de cambio del costo respecto a $x$.]#

#[For linear cost functions, $C(x) = mx + b$, the derivative is the slope, $C'(x) = m$, which we already know as the "marginal cost" in ][ Para funciones lineales de costo, $C(x) = mx + b$, la derivada es el pndiente, $C'(x) = m$, que ya conocemos como el "costo marginal" en ]# #[the tutorial for section 1.2.][el tutorial para la sección 1.2.]#

#[Units of measurement][Unidades de medida]#
#[As marginal cost is a derivative, its units of measurement are units of cost (\$, say) per item; in short: Cost per item.][Ya que el costo marginal es una derivada, sus unidades de medida son unidades del costo (\$, por ejemplo) por artículo; en breve: Costo por artículo.]#

#[Interpretation][Interpretación]#
#[$C'(x)$ gives the approximate cost of the $(x+1)$^st item.][$C'(x)$ da el costo aproximado del $(x+1)$º artículo.]#

%Examples

%If #[the cost of $x$ %11s is ][el costo de $x$ %11s es ]# $C(x) = %10$ %12, %then

%If #[the cost, in dollars, to manufacture $x$ video game consoles is ][el costo, en dólares, para fabricar $x$ videoconsolas es ]# $C(x) = %15$, %then

#[Marginal revenue and profit][Ingresos y utilidad marginal]#

#[Recall that a revenue or profit function specifies the total revenue $R$ or profit $P$ as a function of the number of items $x$. The derivatives, $R'$ and $P'$, of these functions are called the marginal revenue and marginal profit functions. They measure the rate of change of revenue and profit with respect to the number of items.][Recuerda que una función de ingreso o utilidad especifica el ingreso total $I$ o utilidad $U$ como una función del número de artículos $x$. Las derivadas, $I'$ y $U'$, de estas funciones se llaman el ingreso marginal y utilidad marginal. Miden la razón de cambio del ingreso y utilidad respcto al número de articulos.]#

#[Units of measurement][Unidades de medida]#
#[As with marginal cost, marginal revenue and profit are meaured in units of revenue or profit (\$, for example) per item.][Así como el costo marginal, ingreso y utilidad marginal se miden con unidades del ingreso o utilidad (\$, por ejemplo) por artículo.]#

#[Interpretation][Interpretación]#
#[$R'(x)$ and $P'(x)$ give the approximate revenue and profit, repsectively, of the $(x+1)$^st item.][$I'(x)$ y $U'(x)$ da el ingreso y utilidad, respectivamente, del $(x+1)$º artículo.]#

The next quiz is similar to Example 2 in Section 4.2 of or Section 11.2 of , and is based on the scenario in : El siguiente concurso es similar al ejemplo 2 en la sección 4.2 del libro o la sección 11.2 de , y es basado en el escenario en :

You are the manager of Sassy Surf Creations, a new trend-setting clothing manufacturer. The cost function for your very exclusive Tai Kwon Do Dragon T shirts is $C(x) = %20$ dollars, and you sell the shirts for \$%21 each. Eres el gerente de Creaciones Caraduras de Surf, una empresa fabricante de ropa. La función costo por tus camesitas Tai Kwan Do Dragon muy exclusivas es $C(x) = %20$ dólares, y vendes las camisetas a \$%21 cada una.

#[Note: You will see "****" in choices that follow until you have successfully answered all the above questions.][Nota: Verás "****" en opciones que siguen hasta que has contestado correctamente todas las respuestas arriba.]#

#[Average cost][Costo promedio]#

#[Given a cost function $C$, the average cost of the first $x$ items is the ratio][Data una función costo $C$, el costo promedio de los $x$ primeros artículos se da por la relación]#

$\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}.$ #[The average cost is distinct from the marginal cost $C'(x)$, which, as we have already seen, gives the approximate cost of the next item.][El costo promedio es distinto del costo marginal $C'(x)$, el cual indica, como ya vimos, el costo aproximado del siguiente artículo.]#

#[Units of measurement][Unidades de medida]#
#[As average cost is a ratio, its units of measurement are units of cost (\$, say) per item; in short: Cost per item; the same units as for marginal cost.][Ya que el costo marginal es una razón, sus unidades de medida son unidades del costo (\$, por ejemplo) por artículo; en breve: Costo por artículo; las mismas unidades que para cost marginal.]#

%Example
As we saw above, the cost function for your Tai Kwon Do Dragon T shirts is $C(x) = %20$ dollars. Como vimos más arriba, la función costo por tus camesitas Tai Kwan Do Dragon es $C(x) = %20$ dólares.

#[The graphs of the marginal cost and average cost functions will be shown below when you correctly enter the average cost function above.][La gráficas del costo marginal y costo promedio se mostrarán abajo cuando has correctamente ingresado la función costo promedio arriba.]#

#[Refer to the graphs to answer the following questions.][Recurre a las gráficas para contestar las siguientes preguntas.]#

#[Marginal product][Producto marginal]#

#[If productivity $P$ is a function of some factor $n$, such as the number of laborers, then its derivative, $P'(n)$, is called the marginal product of that factor. When $n$ is the number of laborers, we refer to $P'(n)$ as the marginal product of labor. ][Si la productividad $P$ es una función de cualquier factor $n$, como el número de trabajadores, entonces su derivada, $P'(n)$, se llama el producto marginal de aquel factor. Cuando $n$ es el número de trabajadores, referimos al $P'(n)$ como el producto marginal del labor.]#

#[Units of measurement][Unidades de medida]#
#[Marginal product and profit is meaured in units of productivity per unit of that factor (for instance, number of items produced per worker, or profit per worker).][Se mide el producto marginal con unidades del productividad por unidad de aquel factor (por ejemplo, el número de artículos fabricado por trabajador o utilidad por trabajador).]#

#[Interpretation][Interpretación]#
#[$P'(n)$ gives the approximate productivity resulting from $(n+1)$^st factor (e.g. laborer).][$I'(x)$ y $U'(x)$ da el ingreso y utilidad, respectivamente, del $(n+1)$º factor (ej. trabajador).]#

#[The production of fur hats at the Chebyshev fur hat factory in Russia depends on the number $n$ of workers according to the formula

$P(n) = %51n + %52\sqrt{n} + %53$ hats produced per day,where $n$ is the number of workers at its Siberia plant.][La producción de gorras de piel a la fábrica Chebyshev en Rusia depende del número $n$ de trabajadores según la formula

$P(n) = %51n + %52\sqrt{n} + %53$ gorras fabricadas por día,en la que $n$ es el número de trabajadores a su planta en Siberia.]#

#[Note: You will see "****" in choices that follow until you have successfully answered the above three questions.][Nota: Verás "****" en opciones que siguen hasta que has contestado correctamente las tres respuestas arriba.]#

Now try the exercises in Section 4.2 of or Section 11.2 of , some the %8, or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.

Ahora prueba los ejercicios en la sección 4.2 del libro o la sección 11.2 de , algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.