No me gusta este tutorial. ¡Regrésame al tutorial (muy) viejo (inglés)!

Recursos

Nota Para seguir este tutorial, debes saber como multiplicar las matrices.

¿Qué es una matriz inversa?

%Q Vale. Ahora podemos sumar, restar y multiplicar las matrices. Eso deja una operación más: la división. Específicamente, si $A$ y $B$ son, por ejemplo, matrices $n \times n$, ¿qué es $\frac{A}{B}?$
%A Primero, pregúntate que realmente significa la división en el reino de los números reales: en realidad es una forma de multiplicación: dividir $3$ por $7$ es lo mismo que multiplicar $3$ por $\frac{1}{7}$, el inverso (multiplicativo) de $7.$ En otras palabras, Por lo tanto, en el reino de los números reales, podríamos olvidarnos de división y sólo multiplicar por el inverso cuando queramos dividir.

%Q ¿Por qué complicar las cosas así? ¡Sólo dinos cómo dividir las matrices y ya!
%A ¡Paciencia! Escribir, por ejemplo, $\frac{3}{7}$ en lugar de $3\cdot7^{-1}$, está bien (y también habitual) para los números reales. Pero ¿Debe $\frac{3}{7}$ significar realmente $3\cdot7^{-1}$ o debe significar $7^{-1}\cdot 3$? Por supuesto no realmente importa, ya que la multiplicación de los números reales es conmutativa. Pero la multiplicación de matrices no es conmutativa:

¿Por $\frac{B}{A}$ queremos decir $A^{-1}B$ o $BA^{-1}$?

Es porque la noción de "$B$ dividido por $A$" es inherentemente ambiguo que nunca jamás hablamos de la división de matrices. En su lugar, nos contentamos con el uso de matrices inversas mutiplicativas.

%Q Muy bien. Entonces, ¿Cómo calculamos el inverso, $A^{-1},$ de una dada matriz $A?$
%A ¡No tan rápido! Antes de tratar de hallar el inverso de una matriz $A,$ debemos primero saber exactamente lo que entendemos por el inverso (multiplicativo). El inverso de un número $a$ el aquel número, a menudo escrito como $a^{-1},$ con la propiedad que

$a^{-1}a = 1 \quad$ %and $\quad a^{-1}a = 1$

Por ejemplo, el inverso de $76$ es el número $76^{-1} = \frac{1}{76}$, ya que $\frac{1}{76}\cdot 76 = 1$ y $76 \cdot \frac{1}{76} = 1.$ (Por cierto, no todos los números tienen inversas: el número 0 no tiene ningún inverso–es el único número sin inverso multiplicativo, y decimos que cero es "no es invertible.")

Por lo tanto, el inverso de la matriz $A$ debe ser la matriz $A^{-1}$ con la propeidad que

$A^{-1}A = 1 \quad$ %and $\quad A^{-1}A = I \qquad \qquad$ La matriz $I$ desempeña el papel del número 1 en el reino de las matrices.

Rellena la entrada que falta.

Hallar la inversa de una matriz

%Q ¿Cómo demonios hallamos la inversa de una matriz?
%A Si tuvieras que utilizar incógnitas para todas las entradas de la inversa de una matriz, la condición que $AA^{-1} = I$ te daría un sistema de ecuaciones lineales. Resolver este sistema de ecuaciones corresponde al siguiente método para hallar la inversa de cualquier matriz: (Ve %4 para una explicación detallada). %Let $A = $%10. Determina si o no $A$ es invertible y su inversa si lo es, como sigue:

Paso 1. Anota la matriz de $n\times 2n$ [A,|,I]:   (Utiliza la tecla de tabulación para ir de una celda a la siguiente.)

Paso 2. ¿Cuál matriz obtienes si reduces completamente la matriz anterior? (Es una buena práctica reducir la matriz manualmente, como en el %7. Si te sientes perezoso y quieres utilizar la tecnología, utiliza la %9.)

Sigue que

%Let $B = $%11. Determina si o no $B$ es invertible y su inversa si lo es, como sigue:

Paso 1. Anota la matriz de $n\times 2n$ [B,|,I]:   (Utiliza la tecla de tabulación para ir de una celda a la siguiente.)

Paso 2. ¿Cuál matriz obtienes si reduces completamente la matriz anterior? (Es una buena práctica reducir la matriz manualmente, como en el %7. Si te sientes perezoso y quieres utilizar la tecnología, utiliza la %9.)

Sigue que

¿Quieres más práctica?

Utilizar inversas matriciales para resolver sistemas lineales de ecuaciones

Mira el siguente sistema de ecuaciones lineales: Para resolver el sistema, normalmente escribiríamos y reduciríamos por reglones la matriz augmentada para el sistema. Sin embargo, hay una otra manera resolver sistemas de ecuaciones como este: Toma $A$ a ser la matriz de los coeficientes de los lados izquierdos:

$A = $[-1,1,0;-4,1,1;0,-2,1],

toma $X$ a ser la matriz columna de las incógnitas: $X = $[x;y;z], y toma $B$ a ser la matriz columna de los lados derechos: $B = $[4;-1;0]. Entonces el producto

$AX=$[-1,1,0;-4,1,1;0,-2,1][x;y;z]$=$[-x+y;-4x+y+z;-2y+z]

es la matriz columna de los lados izquierdas. Por lo tanto, decir que los lados izquierdos son iguales a los laos derechos es lo mismo que decir que

$AX = B,$

y esta se llama la forma matricial del sistema de ecuaciones.

Ahora, observa que podemos resolver esta ecuación matricial para $X$ por "dividir ambos lados por $A,$ por lo que queremos decir multiplicar ambos lados por la inversa de $A$ (suponiendo que exista):

$A^{-1}AX = A^{-1}B \qquad \Rightarrow \qquad IX = A^{-1}B \qquad \Rightarrow \qquad X = A^{-1}B,$

y ¡hemos despejado a $X$! En este ejemplo, se puede calcular $A^{-1}$ a ser [3,-1,1;4,-1,1;8,-2,3] () y por lo tanto

$X = A^{-1}B = $[3,-1,1;4,-1,1;8,-2,3][4;-1;0] = [13;17;34].

Por lo tanto la solución es $x = 13,\ y = 17,\ z = 34.$

Nota Este proceso funciona solo cuando la matriz $A$ de coeficientes es invertible, y resulta en una solución única en este caso, como se muestra aquí. Si la matriz no es invertible, este método no funciona, y para hallar la solución, si la hay, debería reducir la matriz aumentada como en %7.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: