Ecuaciones que se reducen a la forma P·Q = 0
Si podemos manipular una ecuación de apariencia complicada en la forma $P \cdot Q = 0$ entonces podemos resolverla fácilmente si recordemos lo siguiente, que usamos en el tema anterior:
Resolver ecuaciones que se reducen a la forma P·Q = 0
Utilizamos el hecho que, si un producto es igual a 0, entonces al menos uno de los factores debe ser 0. Es decir, si
Utilizamos el hecho que, si un producto es igual a 0, entonces al menos uno de los factores debe ser 0. Es decir, si
- $P \cdot Q = 0$,
- $P = 0$ o $Q = 0.$
- $P \cdot Q \cdot R = 0$,
- $P = 0$, $Q = 0$, o $R = 0$.
Ejemplos
1. \t $4x^7-x^5 = 0$ \gap[10]
\\ \t $x^5(4x^2-1)=0$ \gap[10] \t Factoriza el lado izquierda.
\\ \t $x^5=0$ o $(4x^2-1)=0.$ \gap[10] \t $P=0$ o $Q=0.$
\\ \t $x=0, x=-\frac{1}{2}$ %or $x=\frac{1}{2}$ \gap[10] \t Solucionar las ecuaciones individuales.
\\ \\
2. \t $(2x+1)(x^2-4)-(x-3)(x^2-4) = 0$ \gap[10]
\\ \t $[(2x+1) - (x-3)](x^2-4) = 0$ \gap[10] \t factor común $(x^2-4)$
\\ \t $(x+4)(x^2-4) = 0$ \gap[10] \t Simplifica.
\\ \t $(x+4)(x-2)(x+2) = 0$ \gap[10] \t Factoriza el cuadrático.
\\ \t $x=-4, x=2$ %or $x=-2$ \gap[10] \t $P = 0$, $Q = 0$, %or $R = 0$
\\ \\
3. \t $x\sqrt{2x-1} = \sqrt{2x-1}$ \gap[10]
\\ \t $x\sqrt{2x-1} - \sqrt{2x-1} = 0$
\\ \t $\sqrt{2x-1}(x - 1) = 0$ \gap[10] \t factor común $\sqrt{2x-1}$
\\ \t $\sqrt{2x-1}=0$ or $x-1=0.$ \gap[10] \t $P=0$ o $Q=0.$
\\ \t $2x-1=0$ or $x-1=0.$ \gap[10] \t %If $\sqrt{a} = 0,$ %then $a = 0$
\\ \t $x=\frac{1}{2}$ %or $x=1$ \gap[10] \t Solucionar las ecuaciones individuales.
Algunas a probar para ti
Resuelva las siguientes ecuaciones. Las soluciones deben ser exactas (no aproximaciones decimales). Ingresa cada solución como una lista separada por comas, for ejemplo
-2, -1/2, 3.
Ecuaciones que se reducen a la forma P/Q = 0
Si podemos manipular una ecuación de apariencia complicada en la forma $P / Q = 0$ entonces podemos resolverla usando la siguiente observación:
Resolver ecuaciones que se reducen a la forma P/Q = 0
Utilizamos el hecho que, si $\displaystyle \frac{P}{Q}=0$, entonces $P=0$. Nota
La expresión $\dfrac{P}{Q}$ no se define cuando $Q = 0$ por lo que necesitas eliminar todas las soluciones que hacen $Q$ igual a cero.
Utilizamos el hecho que, si $\displaystyle \frac{P}{Q}=0$, entonces $P=0$. Nota
La expresión $\dfrac{P}{Q}$ no se define cuando $Q = 0$ por lo que necesitas eliminar todas las soluciones que hacen $Q$ igual a cero.
Ejemplos
1. \t $\displaystyle \frac{x^2-1}{x-2} = 0$ \gap[10]
\\ \t $x^2-1=0$ \gap[10] \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$.
\\ \t $(x-1)(x+1) = 0$ \gap[10] \t Factoriza.
\\ \t $x=-1$ %or $x=1$ \gap[10] \t Ninguna solución hace que el denominador de la expresión original sea cero, así que aceptamos ambas.
\\ \\
2. \t $\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2)}{(x+1)^4 - (x-2)^2} = 0$ \gap[10]
\\ \t $(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2) = 0$ \gap[10] \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$.
\\ \t $(x+1)(x+2)[(x+2) - (x+1)] = 0$ \gap[10] \t Factoriza.
\\ \t $(x+1)(x+2)(1) = 0$
\\ \t $x = -1$ %or $x = -2$ \t Ninguna solución hace que el denominador de la expresión original sea cero, así que aceptamos ambas.
\\ \\
3. \t $\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2)}{x+2} = 0$ \gap[10]
\\ \t $(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2) = 0$ \gap[10] \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$.
\\ \t $x = -1$ %or $x = -2$ \gap[10] \t Solucianos estga ecuación en el ejemplo anterior.
\\ \t $x = -1$ \t Factoriza.
Algunas a probar para ti
Resuelva las siguientes ecuaciones. Las soluciones deben ser exactas (no aproximaciones decimales). Ingresa cada solución como una lista separada por comas, for ejemplo
-2, -1/2, 3.
Combinación de técnicas
A continuación, trandrás que utilizar las técnicas anteriores con varias cosas que aprendiste acerca las funciones racionales en el %3.
Ahora prueba los ejercicios en la sección 0.6 del libro o , o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
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