Note Para este tutorial, se presupone que ya saves cómo solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas. Si sientes que necesitas revisar este tema, vuelve a %4.

Con frecuencia, en el cálculo se presentan ecuaciones que no son ecuaciones polinomiales de bajo grado. Muchas de estas ecuaciones de aspecto complicado pueden resolverse fácilmente usando algunas técnicas básicas para escribirlas primero en la forma $P \cdot Q = 0$ o $P/Q = 0,$ donde $P$ y $Q$ son expresiones más simples.
Ecuaciones que se reducen a la forma P·Q = 0

Si podemos manipular una ecuación de apariencia complicada en la forma $P \cdot Q = 0$ entonces podemos resolverla fácilmente si recordemos lo siguiente, que usamos en el tema anterior:
Resolver ecuaciones que se reducen a la forma P·Q = 0
Utilizamos el hecho que, si un producto es igual a 0, entonces al menos uno de los factores debe ser 0. Es decir, si
    $P \cdot Q = 0$,
entonces
    $P = 0$ o $Q = 0.$

Nota Esta discusión se aplica también a un producto de tres o más términos; por ejemplo, si
    $P \cdot Q \cdot R = 0$,
entonces
    $P = 0$, $Q = 0$, o $R = 0$.
Ejemplos
1.   \t $4x^7-x^5 = 0$ \gap[10] \\ \t $x^5(4x^2-1)=0$ \gap[10] \t Factoriza el lado izquierda. \\ \t $x^5=0$ o $(4x^2-1)=0.$ \gap[10] \t $P=0$ o $Q=0.$ \\ \t $x=0, x=-\frac{1}{2}$ %or $x=\frac{1}{2}$ \gap[10] \t Solucionar las ecuaciones individuales. \\   \\   2.   \t $(2x+1)(x^2-4)-(x-3)(x^2-4) = 0$ \gap[10] \\ \t $[(2x+1) - (x-3)](x^2-4) = 0$ \gap[10] \t factor común $(x^2-4)$ \\ \t $(x+4)(x^2-4) = 0$ \gap[10] \t Simplifica. \\ \t $(x+4)(x-2)(x+2) = 0$ \gap[10] \t Factoriza el cuadrático. \\ \t $x=-4, x=2$ %or $x=-2$ \gap[10] \t $P = 0$, $Q = 0$, %or $R = 0$ \\  \\   3.   \t $x\sqrt{2x-1} = \sqrt{2x-1}$ \gap[10] \\ \t $x\sqrt{2x-1} - \sqrt{2x-1} = 0$ \\ \t $\sqrt{2x-1}(x - 1) = 0$ \gap[10] \t factor común $\sqrt{2x-1}$ \\ \t $\sqrt{2x-1}=0$ or $x-1=0.$ \gap[10] \t $P=0$ o $Q=0.$ \\ \t $2x-1=0$ or $x-1=0.$ \gap[10] \t %If $\sqrt{a} = 0,$ %then $a = 0$ \\ \t $x=\frac{1}{2}$ %or $x=1$ \gap[10] \t Solucionar las ecuaciones individuales.
Algunas a probar para ti

Resuelva las siguientes ecuaciones. Las soluciones deben ser exactas (no aproximaciones decimales). Ingresa cada solución como una lista separada por comas, for ejemplo -2, -1/2, 3.
Ecuaciones que se reducen a la forma P/Q = 0

Si podemos manipular una ecuación de apariencia complicada en la forma $P / Q = 0$ entonces podemos resolverla usando la siguiente observación:
Resolver ecuaciones que se reducen a la forma P/Q = 0
Utilizamos el hecho que, si $\displaystyle \frac{P}{Q}=0$, entonces $P=0$.

Nota
La expresión $\dfrac{P}{Q}$ no se define cuando $Q = 0$ por lo que necesitas eliminar todas las soluciones que hacen $Q$ igual a cero.
Ejemplos
1. \t $\displaystyle \frac{x^2-1}{x-2} = 0$ \gap[10] \\ \t $x^2-1=0$ \gap[10] \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$. \\ \t $(x-1)(x+1) = 0$ \gap[10] \t Factoriza. \\ \t $x=-1$ %or $x=1$ \gap[10] \t Ninguna solución hace que el denominador de la expresión original sea cero, así que aceptamos ambas. \\   \\   2. \t $\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2)}{(x+1)^4 - (x-2)^2} = 0$ \gap[10] \\ \t $(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2) = 0$ \gap[10] \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$. \\ \t $(x+1)(x+2)[(x+2) - (x+1)] = 0$ \gap[10] \t Factoriza. \\ \t $(x+1)(x+2)(1) = 0$ \\ \t $x = -1$ %or $x = -2$ \t Ninguna solución hace que el denominador de la expresión original sea cero, así que aceptamos ambas. \\   \\   3. \t $\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2)}{x+2} = 0$ \gap[10] \\ \t $(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2) = 0$ \gap[10] \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$. \\ \t $x = -1$ %or $x = -2$ \gap[10] \t Solucianos estga ecuación en el ejemplo anterior. \\ \t $x = -1$ \t Factoriza.
Algunas a probar para ti

Resuelva las siguientes ecuaciones. Las soluciones deben ser exactas (no aproximaciones decimales). Ingresa cada solución como una lista separada por comas, for ejemplo -2, -1/2, 3.
Combinación de técnicas

A continuación, trandrás que utilizar las técnicas anteriores con varias cosas que aprendiste acerca las funciones racionales en el %3.

Ahora prueba los ejercicios en la sección 0.6 del libro o , o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
Última actualización: semtiembre 2017
Derechos de autor © 2017

 

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