Multiplying and Factoring Algebraic Expressions/Multiplicar y factorizar expresiones algebraicas

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the old tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]# %Note #[You need to understand how to multiply algebraic expressions using the distributive law before starting work on this tutorial. If you feel you need to review that material, go back to Part A by clicking on its link above.][Es necesario entender cómo multiplicar expresiones algebraicas utilizando la ley distributiva antes de empezar a trabajar en este tutorial. Si sientes que necesitas revisar ese material, vuelve a la Parte A por hacer clic en el enlace de arriba.]#

#[Factors][Factores]#

#[To factor an expression is to write it as a product of other expressions, called its factors. For instance,][Factorizar una expresión significa escribir esa expresión como un producto de otras expresiones, llamadas sus factores. Por ejemplo,]#

$12 = \color{blue}{(4)} \ \color{indianred}{(3)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{4}\ $ %and $\ \color{indianred}{3}$ #[are factors of][son factores de]# $12.$ \\ $12 = \color{blue}{(12)} \ \color{indianred}{(1)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{12}\ $ %and $\ \color{indianred}{1}$ #[are also factors of][son también factores de]# $12.$ \t \\ $2x = \color{blue}{(2)} \ \color{indianred}{(x)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{2}\ $ %and $\ \color{indianred}{x}$ #[are factors of][son factores de]# $2x.$ \t \\ $2x^2 = \color{blue}{(2)} \ \color{indianred}{(x^2)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{2}\ $ %and $\ \color{indianred}{x^2}$ #[are factors of][son factores de]# $2x^2.$ \\ $2x^2 = \color{blue}{(-2x)} \ \color{indianred}{(-x)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{-2x}\ $ %and $\ \color{indianred}{-x}$ #[are also factors of][son también factores de]# $2x^2.$

#[Find the other factor in each case.][Determinar el otro factor en cada caso.]#

#[Identifying factors][La identificación de factores]#

%Q: #[Can we say the following:][¿Podemos decir la siguiente:]#

$1 = \color{blue}{(x)} \ \color{indianred}{\left(\frac{1}{x}\right)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{x}\ $ %and $\ \color{indianred}{\frac{1}{x}}$ #[are factors of][son factores de]# $1?$

%A: #[The answer depends on the context. In the context of expressions that can involve fractions, the answer would be "yes," but in the rest of this tutorial we consider only expressions that do not involve fractions, so the answer is "no." ][La respuesta depende del contexto. En el contexto de las expresiones que pueden involucar fracciones, la respuesta sería "sí", pero en el resto de este tutorial consideramos sólo las expresiones que no involucan fracciones, por lo que la respuesta es "no".]#

%Q: #[What about this:][¿Qué tal de esto:]#

$x = \color{blue}{(x^{3/2})} \ \color{indianred}{x^{-1/2}},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{x^{3/2}}\ $ %and $\ \color{indianred}{x^{-1/2}}$ #[are factors of][son factores de]# $x?$

%A: #[Again, no: $x^{-1/2}$ is really a fraction in disguise:

$x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}},$ and so, as we consider only expressions that do not involve fractions here..even in disguise using negative exponents—the answer is "no." ][Otra vez, no: $x^{-1/2}$ es realmente una fracción disfrazada:

$x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}},$ y por lo tanto, ya que aquí consideramos solo expresiones que no involucan fracciones—incluso disfrazadas a través de exponentes negativos—la respuesta es "no".]#

#[Common factors][Los factores comunes]#

#[We can think of factoring as applying the distributive law in reverse. For example,][Podemos pensar en la factorización como la aplicación de la ley distributiva en sentido inverso. Por ejemplo,]#

$2x^2 + x = x(2x + 1),$ #[which you can check by applying the distributive law to the right-hand side. The first technique of factoring we look at is to locate a common factor: a term that occurs as a factor in each of the expressions being added or subtracted. For example, $x$ is a common factor in $2x^2 + x,$ since it is a factor of both $2x^2$ and $x.$ On the other hand, $x^2$ is not a common factor, since it is not a factor of the second term, $x.$][que puedes comprobar por aplicar la ley distributiva al lado derecho. La primera técnica de factorización que miramos es encontrar un factor común: un término que ocurre como un factor en cada una de las expresiones que se suma o se resta. Por ejemplo, $x$ es un factor común en $2x^2 + x,$ ya que es un factor de ambos $2x^2$ y $x.$ Por otro lado, $x^2$ no es un factor común, ya que no es un factor del segundo término, $x.$]#

#[Taking out a common factor][Sacar un factor común]#

#[Once we have located a common factor in a sum or difference, we can "factor it out" by finding the other factor in each of the summands (as we did in the first quiz of this tutorial):][Una vez que hemos hallado un factor común, en una suma o resta, podemos "sacarlo afuera" por determinar el otro factor en cada uno de los sumandos (como hicimos en el primero concurso de este tutorial):]#

#[In symbols:][En símbolos:]# #[Because][Ya que]# $a$ is a common factor in $ab \pm ac$, #[we can take out the common factor][podemos sacar el factor común]# $a:$

$\color{#c1026f}{a}\color{#026fc1}{b} \pm \color{#c1026f}{a}\color{#0ea05e}{c} = \color{#c1026f}{a}(\color{#026fc1}{b} \pm \color{#0ea05e}{c}).$ #[Suggested video for this topic: %20][Video sugerido para este tema: %20]#

%Examples

#[Because][Ya que]# $x$ is a common factor in $2x^2 + x$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#: $2x^2 + x$ \t $\ = \ \color{#c1026f}{(x)}\color{#026fc1}{(2x)} + \color{#c1026f}{(x)}\color{#0ea05e}{(1)}$ \\ \t $\ = \ \color{#c1026f}{x}(\color{#026fc1}{2x} + \color{#0ea05e}{1})$ #[Because][Ya que]# $2y^2$ is a common factor in $6y^4 + 2y^3 - 4y^2$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#: $6y^4 + 2y^3 - 4y^2$ \t $\ = \ \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#026fc1}{(y^2)} + \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#0ea05e}{(y)} - \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#a05eae}{(2)}$ \\ \t $\ = \ \color{#c1026f}{2y^2}(\color{#026fc1}{y^2} + \color{#0ea05e}{y} - \color{#a05eae}{2})$ #[In the remaining examples we will leave out the middle step (do that mentally!)][En los ejemplos que quedan vamos a omitir el paso intermedio (¡hazlo mentalmente!)]#

#[Because][Ya que]# $x$ is a common factor in $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#:

$2x^2y+xy^2-x^2y^2 \ = \ x(2xy+6y^2-6xy^2)$

#[However, $2xy$ is another common factor in $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2$; it is the greatest common factor:

Its coefficient is positive.
It cannot be multiplied by anything except $-1$ and still remain a factor.

So, we can also write][Sin embargo, $xy$ es un otro factor común en $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2$; es el factor común mayor:

Su coeficiente es positivo.
No se puede multiplicar por nada excepto $-1$ y todavía seguir siendo un factor.

Así, podemos también escribir]# $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2 \ = \ 2xy(x+3y-3xy).$ \t \gap[40] #[Taking out the greatest common factor][Sacando el factor común mayor]#

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