#[Factors][Factores]#
#[To factor an expression is to write it as a product of other expressions, called its factors. For instance,][Factorizar una expresión significa escribir esa expresión como un producto de otras expresiones, llamadas sus factores. Por ejemplo,]#
$12 = \color{blue}{(4)} \ \color{indianred}{(3)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{4}\ $ %and $\ \color{indianred}{3}$ #[are factors of][son factores de]# $12.$
\\ $12 = \color{blue}{(12)} \ \color{indianred}{(1)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{12}\ $ %and $\ \color{indianred}{1}$ #[are also factors of][son también factores de]# $12.$ \t
\\ $2x = \color{blue}{(2)} \ \color{indianred}{(x)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{2}\ $ %and $\ \color{indianred}{x}$ #[are factors of][son factores de]# $2x.$ \t
\\ $2x^2 = \color{blue}{(2)} \ \color{indianred}{(x^2)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{2}\ $ %and $\ \color{indianred}{x^2}$ #[are factors of][son factores de]# $2x^2.$
\\ $2x^2 = \color{blue}{(-2x)} \ \color{indianred}{(-x)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{-2x}\ $ %and $\ \color{indianred}{-x}$ #[are also factors of][son también factores de]# $2x^2.$
#[Find the other factor in each case.][Determinar el otro factor en cada caso.]#
#[Identifying factors][La identificación de factores]#
%Q: #[Can we say the following:][¿Podemos decir la siguiente:]#
$1 = \color{blue}{(x)} \ \color{indianred}{\left(\frac{1}{x}\right)},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{x}\ $ %and $\ \color{indianred}{\frac{1}{x}}$ #[are factors of][son factores de]# $1?$
%A: #[The answer depends on the context. In the context of expressions that can involve fractions, the answer would be "yes," but in the rest of this tutorial we consider only expressions that do not involve fractions, so the answer is "no." ][La respuesta depende del contexto. En el contexto de las expresiones que pueden involucar fracciones, la respuesta sería "sí", pero en el resto de este tutorial consideramos sólo las expresiones que no involucan fracciones, por lo que la respuesta es "no".]#
%Q: #[What about this:][¿Qué tal de esto:]#
$x = \color{blue}{(x^{3/2})} \ \color{indianred}{x^{-1/2}},$ #[so][así]# $\ \color{blue}{x^{3/2}}\ $ %and $\ \color{indianred}{x^{-1/2}}$ #[are factors of][son factores de]# $x?$
%A: #[Again, no: $x^{-1/2}$ is really a fraction in disguise: - $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}},$
- $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}},$
#[Common factors][Los factores comunes]#
#[We can think of factoring as applying the distributive law in reverse. For example,][Podemos pensar en la factorización como la aplicación de la ley distributiva en sentido inverso. Por ejemplo,]#
-
$2x^2 + x = x(2x + 1),$
#[Taking out a common factor][Sacar un factor común]#
#[Once we have located a common factor in a sum or difference, we can "factor it out" by finding the other factor in each of the summands (as we did in the first quiz of this tutorial):][Una vez que hemos hallado un factor común, en una suma o resta, podemos "sacarlo afuera" por determinar el otro factor en cada uno de los sumandos (como hicimos en el primero concurso de este tutorial):]#
#[In symbols:][En símbolos:]# #[Because][Ya que]# $a$ is a common factor in $ab \pm ac$, #[we can take out the common factor][podemos sacar el factor común]# $a:$
-
$\color{#c1026f}{a}\color{#026fc1}{b} \pm \color{#c1026f}{a}\color{#0ea05e}{c} = \color{#c1026f}{a}(\color{#026fc1}{b} \pm \color{#0ea05e}{c}).$
%Examples
#[Because][Ya que]# $x$ is a common factor in $2x^2 + x$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#:
$2x^2 + x$ \t $\ = \ \color{#c1026f}{(x)}\color{#026fc1}{(2x)} + \color{#c1026f}{(x)}\color{#0ea05e}{(1)}$
\\ \t $\ = \ \color{#c1026f}{x}(\color{#026fc1}{2x} + \color{#0ea05e}{1})$
#[Because][Ya que]# $2y^2$ is a common factor in $6y^4 + 2y^3 - 4y^2$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#:
$6y^4 + 2y^3 - 4y^2$ \t $\ = \ \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#026fc1}{(y^2)} + \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#0ea05e}{(y)} - \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#a05eae}{(2)}$
\\ \t $\ = \ \color{#c1026f}{2y^2}(\color{#026fc1}{y^2} + \color{#0ea05e}{y} - \color{#a05eae}{2})$
#[In the remaining examples we will leave out the middle step (do that mentally!)][En los ejemplos que quedan vamos a omitir el paso intermedio (¡hazlo mentalmente!)]#
#[Because][Ya que]# $x$ is a common factor in $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#:
$2x^2y+6xy^2-6x^2y^2 \ = \ 2xy(x+3y-3xy).$ \t \gap[40] #[Taking out the greatest common factor][Sacando el factor común mayor]#
$2x^2y+xy^2-x^2y^2 \ = \ x(2xy+6y^2-6xy^2)$
#[However, $2xy$ is another common factor in $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2$; it is the greatest common factor:
- Its coefficient is positive.
- It cannot be multiplied by anything except $-1$ and still remain a factor.
- Su coeficiente es positivo.
- No se puede multiplicar por nada excepto $-1$ y todavía seguir siendo un factor.
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Ahora prueba algunos de los ejercicios en la sección 0.3 del libro o , o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
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