Multiplying and Factoring Algebraic Expressions/Multiplicar y factorizar expresiones algebraicas

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the old tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]# #[In %4 we saw how to use the distributive law or %3 to do calculations like

$(x + 2)(2x - 5) = 2x^2 - x - 10.$ In this section, we want to reverse the process; that is, starting with the expression $2x^2 - x - 10,$ we would like to factor it and get back the original expression $(x + 2)(2x - 5).$][En %4 aprendimos como utilizar la ley distributiva o %3 para hacer cálculos como

$(x + 2)(2x - 5) = 2x^2 - x - 10.$ En esta sección, queremos invertir el proceso; es decir, empezando con la expresión $2x^2 - x - 10,$ deseamos factorizarla para volver a la expresión original $(x + 2)(2x - 5).$]#

#[The expression $2x^2 - x - 10$ has the form $ax^2 + bx + c,$ where $a, b,$ and $c$ are real numbers (with $a$ nonzero), and is called a quadratic expression in $x.$

Goal: Given a quadratic expression $ax^2 + bx + c,$ we would like to write it in the form $(dx + e)(fx + g)$ for suitable real numbers $d, e, f,$ and $g.$][La expresión $2x^2 - x - 10$ tiene la forma $ax^2 + bx + c,$ donde $a, b,$ y $c$ son números reales (con $a$ no nula), y se llama una expresión cuadrática en $x.$

Meta: Dado una expresión cuadrática $ax^2 + bx + c,$ deseamos escribirla en la forma $(dx + e)(fx + g)$ para números apropiados $d, e, f,$ y $g.$]#

#[There are some quadratic expressions, such as $x^2 + x + 1,$ that cannot be factored in this form at all. Here, we shall consider only quadratic expressions that do factor, and in such a way that the numbers $d, e, f$ and $g$ are integers (whole numbers). Other cases are fully discussed in the %5.][Hay algunos cuadráticos, como $x^2 + x + 1,$ que no se puede factorizar de esta manera en absoluto. Aquí, considareremos solo expresiones cuadráticas que sí fatorizan, y en tal manera que los números $d, e, f$ y $g$ son números enteros. Otros casos se se tratan de forma completa en el %5.]#

#[Factoring by trial and error][Factorizar por ensayo y error]#

#[The usual technique of factoring such quadratic expressions is a "trial-and-error" approach, which we illustrate by means of an example and some exercises for you.][La técnica habitual de factorizar tales expresiones cuadráticas es un enfoque de "ensayo y error", que ilustramos por medio de un ejemplo y algunos ejercicios para ti.]#

#[Factoring by trial and error][Factorizar por ensayo y error]#: %Example
#[Let us factor][Factorizemos]# $x^2 - 6x + 5.$

#[Solution][Solución]#
Find ways to factor the first and last terms:

#[First term][Primer término]#: \gap[10] \t $x^2$ #[has factors][tiene factores]# $\color{#0ea05e}{x}$ %and $\color{#de6c00}{x}$ \t #[because][ya que]# $\color{slateblue}{x \cdot x = x^2}$ \\ #[Last term][Último término]#: \t $5$ #[has factors][tiene factores]# $\color{#c1026f}{5}$ %and $\color{#026fc1}{1}$ \t #[because][ya que]# $\color{slateblue}{5 \cdot 1 = 5}$

#[Group them together and make an attempt.][Agrúpalos juntos y haz un intento]#:

$(\color{#0ea05e}{x} + \color{#c1026f}{5})(\color{#de6c00}{x} + \color{#026fc1}{1}) = x^2 + 6x + 5$ #[This is fine, except for the sign of the middle term. But notice that we can also get the $5$ by multiplying $\color{#c1026f}{(-5)}$ and $\color{#026fc1}{(-1)}.$ In other words, $5$ also has factors $\color{#c1026f}{(-5)}$ and $\color{#026fc1}{(-1)}.$ Using these instead gives][Esta bien, salvo el signo del término medio. Pero observa que podemos también obtener el $5$ por multiplicar $\color{#c1026f}{(-5)}$ y $\color{#026fc1}{(-1)}.$ En otras palabras, $5$ también tiene factores $\color{#c1026f}{(-5)}$ y $\color{#026fc1}{(-1)}.$ Utilizar estos nuevos factores nos da]#

$(\color{#0ea05e}{x} \color{#c1026f}{- 5})(\color{#de6c00}{x} \color{#026fc1}{- 1}) = x^2 - 6x + 5,$ so we have found the correct factorization.

#[Suggested video for this topic: %20][Video sugerido para este tema: %20]#

#[Factor each of the following expressions in the form ][Factorizar cada una de las siguientes expresiones en la forma ]# $(ax+b)(cx+d):$

#[Solving quadratic equations by factoring][Resolver ecuaciones cuadráticas por factorizar]#

%Q #[What is the point of all of this factoring anyway?][ ¿Cuál es el punto de toda esta factorización de todos modos?]#
%A #[The most common application is to use it to solve equations of the form][La aplicación más común es utilizarla para resolver ecuaciones de la forma]#

#[Quadratic equation][Ecuación cuadrática]#

#[Before we start solving quadratic equations, let's warm up by first solving linear equations:][Antes de empezar a resolver ecuaciones cuadráticas, primero vamos a calentar mediante la resolución de ecuaciones lineales:]#

#[Warmup: Solving linear equations][Calentamiento: Resolver ecuaciones lineales]#
#[An important step in solving a quadratic equation is to know how to solve so-called linear equations. A linear equation is an equation of the form][Un paso importante en la solución de una ecuación cuadrática es saber cómo resolver las llamadas ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma]#

$ax + b = c, \qquad $ ($a, b, c$ #[constants with $a$ non-zero.][constantes con $a$ distinta de cero]#)

%Examples

$3x + 2 = 0$ \t $\qquad$ \t $\color{slateblue}{(a = 3,\ b = 2,\ c = 0)}$ \\ $x + 1 = -4$ \t \t $\color{slateblue}{(a = 1,\ b = 1,\ c = -4)}$ \\ $-x - 6 = 1$ \t \t $\color{slateblue}{(a = -1,\ b = -6,\ c = 1)}$ \\ $8x = 0$ \t \t $\color{slateblue}{(a = 8,\ b = 0,\ c = 0)}$

#[Solution of][Solution de]# ax + b = c #[Eg.][Ej.]# −2x + 5 = 4

\t !22! 1. #[Subtract the $b$ from both sides][Restar la $b$ de ambos lados]#: (#[If b is negative, this amounts to adding a number to both sides.][Si b es negativo, eso equivale a sumar un número a ambos lados.]#) \\ \\ \t \gap[40] \t !r! $ax + b \color{red}{\ \ - \ b}$ \t $= c \color{red}{\ \ - \ b} \qquad \qquad$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x+5} \color{red}{\ \ - \ 5} $ \t $\color{slateblue}{= 4} \color{red}{\ \ - \ 5}$ \\ \t \t !r! $ax $ \t $= c - b$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x}$ \t $\color{slateblue}{= -1}$ \t \t \gap[50] \t \\ \t \\ \t !10! 2. #[Divide both sides by $a$][Dividir ambos lados por $a$]#: \\ \\ \t \t !r! $\frac{ax}{\color{red}{a}}$ \t $= \frac{c-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $\frac{-2x}{\color{red}{-2}}$ \t $=\frac{-1}{\color{red}{-2}}$ \\ \t \t !r! $x$ \t $= \frac{c-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $x$ \t $=\frac{1}{2}$

#[Suggested video for this topic: %21][Video sugerido para este tema: %21]#

#[Some for you to do][Algunas a probar para ti]#

#[Solve for $x:$ ][Despejar a $x:$ ]#

#[Now we are ready to start solving quadratic equations][Ahora somos listos para empezar a resolver ecuaciones cuadráticas]# (#[We will study solving more general equations starting with %5.][Estudaremos resolver ecuaciones más generales empezando con %5.]#)

#[Solving quadratic equations][Resolver ecuaciones cuadráticas]#: %Example
#[Let us solve][Resolvamos]# $2x^2 - 9x + 4 = 0.$

#[Solution][Solución]#
#[We already saw how to factor this expression in the non-game version pf this tutorial:][Ya vimos anteriormente cómo factorizar esta expresión en la versión no juego de este tutorial:]#

$2x^2 - 9x + 4 = (2x-1)(x-4)$ #[So now we can rewrite our equation as][Así podemos reescribir nuestra ecuación como]#

$(2x-1)(x-4) = 0.$ #[Thus, the product of the two quantities $(2x-1)$ and $(x-4)$ is zero. Now, if a product of two numbers is zero, it means that one or the other of them must be zero. In other words,][Por lo tanto, el producto de los dos cantidades $(2x-1)$ y $(x-4)$ es cero. Bueno, si un producto de dos números es cero, significa que uno o otro de aquellos debe ser cero. Es decir,]# #[Either][O bien]# \gap[5] \t $2x - 1 = 0,$ \gap[5] \t #[so][así]# $2x = 1,$ #[giving][que nos da]# $x = \frac{1}{2},$ \gap[40] \t #[See the Warmup above.][Ve el Calentamiento arriba.]# \\ %or \t $x-4 = 0,$ \t #[giving][que nos da]# $x = 4.$ #[Thus, the quadratic equation $2x^2 - 9x + 4 = 0$ has two solutions:][Por lo tanto, la ecuación cuadrática $2x^2 - 9x + 4 = 0$ tiene dos soluciones:]# $x = \frac{1}{2}, \ \ x = 4.$

#[Suggested video for this topic: %22][Video sugerido para este tema: %22]#

#[Some for you to do][Algunas a probar para ti]#

#[Solve for $x:$ (If there is more than one solution, separate them by commas.)][Despejar a $x:$ (Si hay más que una solución, separarlos por comas.)]#

Now try some of the exercises in Section 0.3 of or , or move ahead to the next tutorial by pressing on the sidebar.

Ahora prueba algunos de los ejercicios en la sección 0.3 del libro o , o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.