%6
Note Para este tutorial, se presupone que ya saves cómo factorizar las expresiones cuadráticas. Si sientes que necesitas revisar este tema, vuelve a %4.
Expresiones polinómicas y ecuaciones polinómicas
En el %4 miramos expresiones de la forma
    $ax^2 + bx + c, \quad $($a \neq 0,\ b,$ y $c$ constantes) Ejemplo: $\color{steelblue}{3x^2-4x-4}$
que se llaman expresiones cuadráticas o simplemente cuadráticos. También factorizamos muchas de ellas como productos de la forma $(dx + e)(fx + g)$: Por ejemplo,
    $3x^2-4x-4 = (3x+2)(x-2).$
Los factores $3x+2$ y $x-2$ son ejemplos de expresiones lineales. En general, expresiones lineales y cuadráticas son ejemplos de polinomios:

Polinomio y ecuación polinómica
Un polinomio es una expresión algebráica de la forma
    $ax^n + bx^{n-1} + \cdots + rx + s$
donde $a, b, \dots r$ y $s$ son constantes, llamadas los coeficientes del polinomio. Al máximo exponente de $x$ que aparece en la expresión con un coeficiente distinto de cero se le llama el grado del polinomio.
Ejemplos
$3x-2$ \gap[10] tiene grado 1, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x = x^1.$ A los polinomios del grado 1 se les llama expresiones lineales. \\   \\ $2x - x^2$ \gap[10] tiene grado 2, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x^2.$ A los polinomios del grado 2 se les llama cuadráticos. \\   \\ $0x^4+3x^2+1$ \gap[10] también tiene grado 2, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x^2.$ \\   \\ $4x^3-x^2-5$ \gap[10] tiene grado 3. A los polinomios del grado 3 se les llama cúbicas. \\   \\ $x^4-1$ \gap[10] tiene grado 4. A los polinomios del grado 3 se les llama cuárticas.
Algunas a probar para ti
Una ecuación poliomio de grado $n$ es una ecuación que se puede escribir en la forma
    $ax^n + bx^{n-1} + \cdots + rx + s = 0. \quad (a \neq 0) \quad \qquad$ Polymonio de grado n = 0
Ejemplos
$3x-2 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 1. A las ecuaciones polinómicas del grado 1 se les llama ecuaciones lineales. \\   \\ $3x^2-2x+1 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 2. A las ecuaciones polinómicas del grado 2 se les llama ecuaciones cuadráticas. \\   \\ $4x^3-x^2-5 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 3. A las ecuaciones polinómicas del grado 3 se les llama ecuaciones cúbicas. \\   \\ $x^4-1 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 4. A las ecuaciones polinómicas del grado 4 se les llama ecuaciones cuárticas.

Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas

Ya hemos visto cómo solucionar ecuaciones lineales, y también ecuaciones cuadráticas cuyos lados izquierdos factorizan, en %4. A continuación, repasamos aquel material:
Solution de ax + b = 0         Ej. −2x + 5 = 0
\t !22! 1. Restar la $b$ de ambos lados: (Si b es negativo, eso equivale a sumar un número a ambos lados.) \\ \\ \t \gap[40] \t !r! $ax + b \color{red}{\ \ - \ b}$ \t $= \color{red}{\ \ - \ b} \qquad \qquad$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x+5} \color{red}{\ \ - \ 5} $ \t $\color{slateblue}{= } \color{red}{\ \ - \ 5}$ \\ \t \t !r! $ax $ \t $= - b$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x}$ \t $\color{slateblue}{= -5}$ \t \t \gap[50] \t \\ \t   \\ \t !10! 2. Dividir ambos lados por $a.$: \\ \\ \t \t !r! $\frac{ax}{\color{red}{a}}$ \t $= \frac{-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $\frac{-2x}{\color{red}{-2}}$ \t $=\frac{-5}{\color{red}{-2}}$ \\ \t \t !r! $x$ \t $= \frac{-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $x$ \t $=\frac{-5}{2}$

Video sugerido para este tema: %21
Algunas a probar para ti

Despejar a $x:$
Solution de ax2 + bx + c = 0 cuando el cuadrático se factoriza         Ej. 2x2 + 5x - 3 = 0
\t !22! 1. Factoriza el lado izquierdo: \\ \\ \t \gap[40] \t $\color{blue}{(px + q)}\color{red}{(rx + t)} = 0$ \t \gap[50] \t $\color{blue}{(2x-1)}\color{red}{(x+3)} = 0$ \\ \t   \\ \t !10! 2. Ya que el producto de los dos factores es igual a cero, uno de ellos debe ser cero:: \\ \\ \t \gap[40] \t $\color{blue}{px + q = 0}$   %or  $\color{red}{rx + t= 0}$ \t \gap[50] \t $\color{blue}{2x-1 = 0}$   %or   $\color{red}{x+3 = 0}$ \\ \t   \\ \t !10! 2. Resuelve la(s) resultante(s) ecuacion(es) lineal(es): \\ \\ \t \gap[40] \t $\color{blue}{x = -\frac{q}{p}}$   %or  $\color{red}{x = -\frac{t}{r}}$ \t \gap[50] \t $\color{blue}{x = \frac{1}{2}}$   %or  $\color{red}{x= -3}$

Video sugerido para este tema: %22
Algunas a probar para ti

Despejar a $x:$ (Si hay más que una solución, separarlos por comas.)

%Q: ¿Cómo sé si o no puedo factorizar una expresión cuadrática, y cómo resolver una ecuación cuadrática si no factorisa?
%A: La pregunta tiene dos partes. Empezamos por contestar la primera parte: Cómo reconecer si o no se puede factorizar una expresión cuadrática.
Prueba de factorización

El cuadrático $ax^2 + bx + c,$ en le que $a, b,$ y $c$ son números enteros, se factoriza como $(rx + s)(tx + u)$ con $r, s, t,$ y $u$ números enteros precisamente cuando la cantidad
    $b^2 - 4ac$
es un cuadrado perfecto (es decir, es el cuadrado de un número entero). Cuando eso sucede, decimos que al cuadrático se factoriza sobre los enteros.
• Si la cantidad $b^2-4ac$ es positiva pero no un caudrado perfecto (por ejemplo, $b^2-4ac = 15$), entonces el cuadrático todavía se factoriza como $(rx + s)(tx + u),$ pero no sobre los enteros: ambos números $s$ y $u$ serán irracionales.
• Si $b^2-4ac$ es negativa, entonces el cuadrático no se factoriza en absoluto.
Ejemplos
    $3x^2-4x+1$ tiene $a = 3, b = -4, c = 1,$ por lo que
      $b^2-4ac = (-4)^2-4(3)(1) = 16-12 = 4,$
    que es un cuadrado perfecto: $4 = 2^2.$ Por lo tanto, el cuadrático sí se factoriza sobre los enteros. De hecho,
      $3x^2-4x+1 = (3x-1)(x-1).$

    $x^2-4x+2$ tiene $a = 1, b = -4, c = 2,$ por lo que
      $b^2-4ac = (-4)^2-4(1)(2) = 16-8 = 8,$
    que no es un cuadrado perfecto: $8$ no se puede escribir como el cuadrado de un número entero. Por lo tanto, este cuadrático no se factoriza sobre los enteros.
Algunas a probar para ti

%Q: Muy bien, eso contesta a la primera parte de mi pregunta anterior: como saber cuando factoriza una expresión cuadrática $ax^2+bx+c$. ¿Qué tal la segunda parte de la pregunta?: ¿Cómo resolver $ax^2+bx+c=0$ cuadrática si el lado izquierda no factoriza sibre los enteros?
%A: La formula cuadrática se puede utilizar para obtener cualquieres soluciones posibles de $ax^2+bx+c=0$ si no el lado izquierdo factoriza:
Resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula cuadrática (funciona siempre)

Las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ son
    $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$
A la cantidad $\Delta = b^2-4ac$ (que ¡ya hemos visto anteriormente!) el discriminante de la expresión cuadrática ($\Delta$ es la letra griega delta) y tenemos el siguiente principio general:
  • Si $\Delta$ es positivo, hay dos soluciones reales distintas.
  • Si $\Delta$ es cero, hay solo una solución real: $x = -\frac{b}{2a}.$ (¿Por qué?)
  • Si $\Delta$ es negativa, no hay ningunas soluciones reales.

Video sugerido para este tema: %23
Ejemplos

1. $x^2-5x-12 = 0$ tiene $a = 2, b = -5,$ %and $c = -12.$ El discriminante es
    $\Delta = b^2-4ac = (-5)^2-4(2)(-12) = 25 + 96 = 121,$
que es positiva, por lo que hay dos soluciones dinstintas:
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t $= \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4(2)(-12)}}{2(2)}$ \\ \t $= \frac{5\pm\sqrt{121}}{4} = \frac{5\pm 11}{4}$ \\ \t $= \frac{16}{4}$ %or $-\frac{6}{4}$ \\ \t $= 4$ %or $-\frac{3}{2}$
Nota que en este caso el discriminante es un cuadrado perfecto: $121=11^2.$ Por lo tanto, podríamos también haber obtenido la respuesta por factorizar.

2. $x^2+ 2x - 1 = 0$ tiene $a = 1, b = 2,$ %and $c = -1.$ El discriminante es
    $\Delta = b^2-4ac = 2^2-4(1)(-1) = 4+4 = 8,$
que es positiva, por lo que hay dos soluciones dinstintas:
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t $= \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$ \\ \t $= \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = \frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}$ \\ \t $= -1 + \sqrt{2}$ %or $-1 - \sqrt{2}$
En este caso el discriminante no es un cuadrado perfecto, por lo que el lado izquierdo no factoriza sobre los enteros.

3. $4x^2 = 12x - 9$ se puede reescribir como $4x^2-12x+9 = 0$ que tiene $a = 4, b = -12,$ %and $c = 9.$El discriminante es
    $\Delta = b^2-4ac = (-12)^2-4(4)(9) = 144-144 = 0,$
que es positiva, por lo que hay una solución distinta:
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t $= \frac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4(4)(9)}}{2(4)}$ \\ \t $= \frac{12\pm\sqrt{144-144}}{8} = \frac{12\pm\sqrt{0}}{8}= \frac{12}{8}$ \\ \t $= \frac{3}{2}$
Nota que en este caso el discriminante es un cuadrado perfecto: $0 = 0^2,$ por lo que podríamos también haber obtenido la respuesta por factorizar.
4. $x^2+x+1 = 0$ tiene $a = 1, b = 1,$ %and $c = 1.$ El discriminante es
    $\Delta = b^2-4ac = 1^2-4(1)(1) = 1 - 4 = -3,$
que es negativa, por lo que no hay ningunas soluciones reales.
Resuleva las dadas ecuaciones cuadráticas:

%Note Las soluciones de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ se conocen también como las raices del cuadrático $ax^2 + bx + c.$

Factorización de quadráticos que son difícil factorizar

La fórmula cuadrática también se puede utilizar para factorizar expresiones cuadráticas. Esto es útil en los casos en que un cuadrático que sabemos que debe factorizar es sin embargo difícil o tedio factorizar, como, por ejemplo,
    $36x^2+109x+80,$
cuyo discriminante es
    $\Delta = b^2 - 4ac = (109)^2 - 4(36)(80) = 361,$
que pasa a ser un cuadrado perfecto:
    $\sqrt{361} = 19,$
cuyo discriminante es
    $\Delta = b^2 - 4ac = (109)^2 - 4(36)(80) = 361,$
que significa que factoriza, de alguna o otra manera.
Factorizar expresiones cuadráticas con la fórmula cuadrática: Método seguro de Estéfan

  1. Comprueba que $\Delta = b^2 - 4ac$ es un cuadrado perfecto. (Si los números son grandes, utiliza una calculadora para tomar la raíz cuadrada.)
  2. Utiliza la fórmula cuadrática para obteners las raices en términos mínimos $\frac{p}{q}$ y $\frac{r}{s}.$
  3. La factorización deseada es $k(qx-p)(sx-r),$ donde $k = \frac{a}{qs}.$
    ($k = \pm 1$ cuando el cuadrático original no tiene ningún factor común entero. )

Video sugerido para este tema: %23
(Nota que el video es realmente sólo para el caso especial en el que $a, b,$ y $c$ no tienen ningún factor común, dando $k = 1$ en el Paso 3, por lo que el video no es correcto en general. No pude encontrar un video que lo hace correctamente en el caso general.)
Ejemplo

Vamos a utilizar este método para factorizar $36x^2+93x+60$.

  1. $a = 36, b = 93, c = 60 \ \ \Rightarrow \ \ \Delta = b^2 - 4ac = (93)^2-4(36)(60) = 9,$ que es un cuadrado perfecto. ✓
  2. Raices:
      $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{93 \pm \sqrt{9}}{2(36)} = \frac{-93 \pm 3}{72},$
    dando
      $\frac{-90}{72} = \frac{-5}{4} = \frac{p}{q} \qquad$ %and $\qquad \frac{-96}{72} = \frac{-4}{3} = \frac{r}{s}$
  3. $k = \frac{a}{qs} = \frac{36}{(4)(3)} = \frac{36}{12} = 3,$ por lo que la factorización deseada es
    $36x^2+93x+60$ \t $=k(qx-p)(sx-r)$ \\ \t $= 3(4x-(-5))(3x - (-4))$ \\ \t $= 3(4x+5)(3x+4)$
    ¡Hecho!
Utiliza el Método seguro de Estéfan para factorizar las sigueientes cuadráticos.
¡Se necesita una calculadora con capacidad de mostrar fraccioness! (Calculadoras que muestran fracciones automaticamente las muestran en términos mínimos.
Ahora prueba algunos de los ejercicios en la sección 0.4 del libro o , o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo ubicado a la izquierda.
Última actualización: noviembre 2016
Derechos de autor © 2015, 2016

 

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