Real numbers and operations/Numeros reales y operaciones

#[Take me back to the even older real numbers tutorial!][Regresame al tutorial aún más viejo sobre números reales!]# #[Note It is assumed that you are familiar with integers, fractions, and decimals, and that you know how to add, subtract, multiply and divide them.][Nota Se da por hecho que estas familiarizado con los números enteros, fracciones y decimales, y que sabes como sumar, restar, multiplicar, y dividirlos.]#

#[Real numbers][Números reales]#

#[The real numbers are the numbers that can be written in decimal notation, including those that require an infinite decimal expansion. We consider three important types of real numbers: integers, rational numbers, and irrational numbers: ][Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. Consideramos tres tipos importantes de números reales: números enteros, números racionales, y números irracionales:]#

#[Integers, Rational numbers, Irrational numbers][Números enteros, Números racionales, Números irracionales]#

#[Integers: These are the whole numbers, positive, negative, and zero: $0,\ 1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 3,\ -3,\ \dots$ As decimals, they can be written as $0.0,\ 1.0,\ -1.0,\ 2.0,\ -2.0,$ and so on.][Números enteros: Incluyen los nñumeros enteros positivos, negativos, y cero: $0,\ 1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 3,\ -3,\ \dots$ Se puede representarlos también en la forma decimal: $0.0,\ 1.0,\ -1.0,\ 2.0,\ -2.0,$y así sucesivamente.]#

#[Rational numbers: These are the numbers that can be represented as fractions of integers. Their decimal expansions either terminate (in zeros) or repeat indefinitely after some point (for instance, $\frac{5}{2} = 2.5$ or $2.50000\cdots,$ and $\frac{1}{3} = 0.333\cdots.$) Note that integers are automatically rational numbers; for instance, 4 can be written as $\frac{4}{1}.$][Números racionales: Estos son los números que se puede representar como fracciones de números enteros. Sus desarrollos en decimales terminan (con ceros) o repiten indefinidamente a partir de cualquier punto (por ejemplo, $\frac{5}{2} = 2.5$ o $2.50000\cdots,$ y $\frac{1}{3} = 0.333\cdots.$) Observa que números enteros son automaticamente racionales; por ejemplo, 4 se puede representar como $\frac{4}{1}.$]#

#[Irrational numbers: These are all the real numbers that are not rational. Their decimal expansions never terminate nor repeat (for instance, $\sqrt{2} = 1.4142135623730951\cdots,$ $\pi = 3.141592653589793\cdots,$ and $e = 2.718281828459045\cdots.$)][Números irracionales: Estos son los números que no son racionales. Sus desarrollos en decimales nunca terminan ni repiten (por ejemplo, $\sqrt{2} = 1.4142135623730951\cdots,$ $\pi = 3.141592653589793\cdots,$ y $e = 2.718281828459045\cdots.$)]#

%Examples

#[Operations on the real numbers][Operaciones con los números reales]#

#[The five most common operations on the set of real numbers are:•Addition • Subtraction • Multiplication • Division • Exponentiation."Exponentiation" means the raising of a real number to a power; for instance, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.][Las cinco operaciones más comunes del conjunto de los números reales son:•Adición • Sustracción • Multiplicación • División • Exponenciación."Exponenciación" significa elevar un número a una potencia; por ejemplo, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.]#

#[When we write an expression involving two or more of these operations, such as][Cuando escribimos una expresión conteniendo dos o más de estas operaciones, como]# $4 + 3 - 4 \div 3 \times 2^3 \ \ $ %or $\ \ \ 6 + 12(7 - 3 \cdot 6)/4 \cdot 5 \ \ $ %or $\ \ \dfrac{12 - (-2)}{2 \cdot 4^2 - 5^2}$ #[we use rules to decide on the order in which we do the operations: ][usamos reglas para decidir el orden en que hacemos los operacionces:]#

#[Standard order of operations][Orden estándar de operaciones]#

#[1. Parentheses and fraction bars

Use the standard order of operations shown here to calculate the values of all expressions inside parentheses or brackets first, working from the innermost parentheses out. When dealing with a fraction bar, calculate the numerator and denominator separately and then do the division.

][1. Paréntesis y rayas de quebrado

Usa el orden estándar de operaciones mostrado aquí para calcular primero los valores de todas las expresiones entre paréntesis o corchetes, y avancando de los paréntesis interiores hacía los exteriores. En una fracción, calcula por seperado el numerador y el denominador antes de hacer la división.

]# #[2. Exponents

Raise all numbers to the indicated powers.

][2. Exponentes

Eleva todos los números a las potencias indicadas.

]# #[3. Multiplication and division

Do all the multiplications and divisions from left to right. Note on division: When division of integers leads to a fraction, it is often best to leave the fraction in reduced form rather than approximating by a decimal. (So, sometimes there is no calculation to do, as in $2/3,$ for instance.)

][3. Multiplicación y división

Haz todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de izquierda a derecha. Nota sobre división: Cuando división de números enteros se lleva a una fracción, es frecuentemente mejor dejar el resultado como una fracción reducida en lugar de aproximarla por un decimal. (Así, a veces no hay ninguna cálculo hacer, como en $2/3,$ por ejemplo.)

]# #[4. Addition and subtraction

Do the remaining additions and subtractions from left to right.

][4. Suma y resta

Haz las sumas y restas que quedan de izquierda a derecha.

%Examples:

#[In each of the following, decide which calculation of the given expression is valid.
Note If an answer happens to be correct, it does not necesssarily mean that the calculation is valid. Do not use a calculator; using a calculator would completely defeat the purpose of these exercises.][En cada uno de los siguientes, decide cual cálculo de la dada expresión es válido.
Nota Si una respuesta es correcta por causalidad, no significa necesariamente que el cálculo es valido. No uses una calculadora; usar una calculadora negaría el propósito de estos ejercisios.]#

#[Enter the correct answer in each case. Do not use a calculator; using a calculator would completely defeat the purpose of these exercises.][Ingresa la respuesta correcta en cada caso. No uses una calculadora; usar una calculadora negaría el propósito de estos ejercisios.]#

#[Entering formulas with technology][Ingresar fórmulas con tecnología]#

#[Any good calculator or computer application will respect the standard order of operations. When entering formulas, we must always take particular care with division, exponentiation, and the use of parentheses.][Toda buena calculadora o aplicación informática respeta el orden estándar de las operaciones. Cuando ingresamos fórmulas siempre debemos tener cuidado particular con división y multiplicación, y el uso de los paréntesis.]#

#[Entering formulas][Ingresar fórmulas]#

#[The following conventions apply to most forms of technology, such as spreadsheets, graphing calculators and, in large part, to computer programming langugages (although the method for entering exponents can vary quite a lot from prgramming langauge to programming language):][Las siguentes convenciones se aplican a la mayoria de las formas de tecnología, como hojas de cálculo, calculadoras graficadoras, y, en buena parte, a lenguajes de programación (aunque el método de ingresar exponentes puede variar significamente de un lenguaje de programación a otro):]#

#[Operation][Operación]#	#[Symbol][Símbolo]#	%Examples
#[Addition, Subtraction, Negative][Suma, Resta, Negativo]#	#[The usual symbols: + and −][Los símbolos costumbrados: + and −]#	-3+5-8=-6 3-x+y
#[Multiplication][Multiplicación]#	#[The asterisk: . Enter $a \times b$ as ][El asterisco: . Ingresa $a \times b$ como ]# a*b.	-452+6=-34 xy-6x
#[Exponentiation][Exponenciación]#	#[The caret: ^. Enter $a^b$ as ][La virgula: ^. Ingresa $a^b$ como ]# a^b. #[If the exponent includes sums, differences, and/or products, enclose it in parentheses.][Si el exponente incluya sumas, restas, y/o productos, enciérralo entre paréntesis.]# #[Enter][Ingresa]# $a^{b+c}$ %as a^(b+c) #[Enter][Ingresa]# $a^{b}+c$ %as a^b+c	2^3=8 2^x+y
#[Parentheses][Paréntesis]#	Ordinary parentheses () only; never square brackets [] or braces {}. Thus, for instance, enter $2[(4 + 3)/2]$ as 2((4+3)/2).Siempre paréntesis () normales; nunca paréntesis cuadrados [], ni corchetes {} Así, por ejemplo, ingresa $2[(4 + 3)/2]$ como 2((4+3)/2).	(2(3+5)-2)/2=7 (2(x+y))^4
#[Redundant parentheses][Paréntesis redundante]#	#[Parentheses are only necessary to change the order of operations in a formula you enter; otherwise they do nothing.][Los paréntesis son necesarios solo para cambiar el orden de operaciones en una fírmua que ingresas; de lo contrario no hacen nada.]# (a/b) = a/b #[and represents][y representa]# $\dfrac{a}{b}.$ (a)/(b) = a/b #[and represents][y representa]# $\dfrac{a}{b}.$ (ab)/c = ab/c #[and represents][y representa]# $\dfrac{ab}{c} = a\dfrac{b}{c}.$ (a^b)/c = a^b/c #[and represents][y representa]# $\dfrac{a^b}{c}.$	(1+3)/(2) = (1+3)/2 = $\dfrac{1+3}{2}$ #[but][pero]# 1+3/2 = $1 + \dfrac{3}{2}.$ (3^(4))/(2) = 3^4/2 = $\dfrac{3^4}{2}$ #[but][pero]# 3^(4/2) = $3^{4/2}.$ 1-(3^(4x)) = 1-3^(4x) = $1 - 3^{4x}$ #[but][pero]# 1-3^4x = $1 - 3^4x.$
#[Division][División]#	#[There are no fraction bars in technology formulas. For the division symbol use the slash /. If the numerator or denominator includes sums, differences, and/or products, enclose it in parentheses. Enter $\dfrac{a}{b}$ as a/b. Enter $\dfrac{a}{b+c}$ as a/(b+c) Enter $\dfrac{a+b}{c}$ as (a+b)/c Enter $\dfrac{a+b}{c+d}$ as (a+b)/(c+d)][No hay barras de fracciones en las fórmulas tecnología. Para el símbolo de división usa la diagonal /. Si el numerador o denominador incluya sumas, restas, y/o productos, enciérralo entre paréntesis. Ingresa $\dfrac{a}{b}$ como a/b Ingresa $\dfrac{a}{b+c}$ como a/(b+c) Ingresa $\dfrac{a+b}{c}$ como (a+b)/c Ingresa $\dfrac{a+b}{c+d}$ como (a+b)/(c+d)]#	4/(4+5)=4/9 4/4+5=6 (12+6)/3=6 12+6/3=14

%Note

#[Popular graphing calculators use a shorter symbol for negative, but spreadsheets and programming languages always use the same symbol for negative and minus.][Calculadoras graficadoras populares usan un símbolo más corto para negativo, pero hojas de cálculo y lenguajes de programación siempre usan el mismo símbolo para resta y negativo.]#
#[Popular graphing calculators allow you to omit the asterisks in products, but spreadsheets and programming languages do not.][Calculadoras graficadoras populares se permiten omitir los asteriscos en productos, pero hojas de cálculo y lenguajes de programación no lo permiten.]#

#[In each of the following, decide which mathematical expression is represented by the given technology formula. (Some of them may contain redundant parentheses.)][En cada uno de los siguientes, decide cual expresión matemática se repreenta por la dad formula tecnología. (Algunos de aquellos pueden contener paréntesis redundantes.)]#

#[Additional questions will appear here once you have answered all the multiple choice questions above.][Preguntas adicionales aparecerán aquí una vez que has contestado toas las preguntas elección-multiple más arriba.]#

#[Intervals][Intervalos]#

#[Subsets of the set of real numbers which happen to be unbroken segments are called intervals, and show up quite often and so we have a compact notation for them.][A subconjuntos del conjunto de los números reales que resultan ser segmentos continuos, nos llamamos intervalos, y se encunetra frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos.]#

#[Interval Notation ][Notación de intervalo]#

#[Here is a list of types of intervals along with examples:][Lo siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos:]#

	#[Interval][Intervalo]#	#[Description][Descripción]#	#[Picture][Dibujo]#	%Example
#[Closed][Cerrado]#	$[a, b]$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a \leq x \leq b$		$[0, 10]$ #[Includes $0$ and $10$][Incluya $0$ y $10$]#
#[Open][Abierto]#	$(a, b)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a < x < b$		$(-1, 5)$ #[Excludes $-1$ and $5$][Excluya $-1$ y $5$]#
#[Half-open][Semibierto]#	$(a, b]$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a < x \leq b$		$(-3, 1]$ #[Excludes $-3,$ includes $1$][Excluya $-3,$ incluya $1$]#
	$[a, b)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a \leq x < b$		$[-4, 0)$ #[Includes $-4,$ excludes $0$][Incluya $-4,$ excluya $0$]#
#[Infinite][Infinito]#	$[a, +\infty)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a \leq x < +\infty$		$[-3, +\infty)$ #[Includes $-3$][Incluya $-3$]#
	$(a, +\infty)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a < x < +\infty$		$(0, +\infty)$ #[Excludes $0$][xEcluya $0$]#
	$(-\infty, b]$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $-\infty < x \leq b$		$(-\infty, 2]$ #[Includes $2$][Incluya $2$]#
	$(-\infty, b)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $-\infty < x < b$		$(-\infty, -1)$ #[Excludes $-1$][Excluya $-1$]#
	$(-\infty, +\infty)$	#[Set of all real numbers][Conjunto de todos los números reales]# $-\infty < x < +\infty$		$(-\infty, +\infty)$

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