| #[Rule][Regla]# | #[Examples][Ejemplos]# | #[Comments][Comentarios]# | |||||||||||
| $a^ma^n = a^{m+n}$ |
$2^32^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
$2^32^{-2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ $(-9)^4(-9)^{-2} = (-9)^{4-2} = (-9)^2 = 81$ $x^3x^4 = x^{3+4} = x^7$ $x^{-4}x^3 = x^{-4+3} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ |
#[If the bases in a product match, add the exponents. If the bases do not match the rule does not apply.][Si las bases en un producto son iguales, suma los exponentes. Si no son igulaes las bases, la regla no se aplica.]# #[To see why this rule holds in the case of positive exponents, notice that][Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que]#
$\qquad \quad (a+b)^n \neq a^n+b^n$ |
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$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (#[if][si]# $a \neq 0$) |
$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
$\dfrac{x^3}{x^4} = x^{3-4} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ $\dfrac{2^3}{2^{-2}} = 2^{3-(-2)} = 2^5 = 32$ $\dfrac{x^{-4}}{x^{-3}} = x^{-4-(-3)} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ $\dfrac{1}{x^{-3}} = \dfrac{x^0}{x^{-3}} = x^{0-(-3)} = x^3$ |
#[If the bases in a quotient match, subtract the exponents. If the bases do not match the rule does not apply.][Si las bases en una cociente son iguales, resta los exponentes. Si no son igulaes las bases, la regla no se aplica.]# #[Notice that this rule follows from cancellation in the case of positive exponents.][Observa que esta regla sigue de cancelación en el caso de exponentes positivos.]# #[The rule does not apply to differences: ][La regla no se aplica a diferencias: ]# $\qquad a^m-a^n \neq a^{m-n}$ |
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$\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$ (#[if][si]# $a \neq 0$) |
$\dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}$
$5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$ $\dfrac{1}{5^-2} = 5^{-(-2)} = 5^2 = 25$ |
#[See "Negative and zero exponents" above.][Ve "Exponentes negativos y cero " arriba.]#
#[Rule 3 is actually a special case of Rule 2:][Regla 3 es en realidad un caso especial de la Regla 2:]#
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| $(a^n)^m = a^{nm}\ $ |
$(2^3)^2 = 2^{3\times 2} = 2^{6} = 64$
$(x^3)^4 = x^{3 \times 4} = x^{12}$ $(2^{-3})^2 = 2^{(-3)\times2} = 2^{-6} = \dfrac{1}{64}$ $(x^{-3})^{-4} = x^{(-3)\times(-4)} = x^{12}$ |
#[Raising a power to a power corresponds to mutliplying the powers.][Elevar una potencia a una potencia corresponde a multiplicar las potencias.]# | |||||||||||
| $(ab)^n = a^nb^n$ |
$(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \times 9 = 36$
$(2 \cdot 3)^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-2} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{36}$ $(4(-3))^{2} = 4^2 \cdot (-3)^2 = 16 \times 9 = 144$ $(xy)^{-4} = x^{-4}y^{-4}$ $(-xy)^3 = (-x)^3(y)^3$ |
#[The $n$th power of a product is the product of the $n$th powers.][La $n$ª potencia de un producto es el producto de las $n$ª potencias.]#
#[To see why this rule holds in the case of positive exponents, notice that][Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que]#
$\qquad (a+b)^n \neq a^n + b^n$ |
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$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ (if $b \neq 0$) |
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{3^4}{2^4} = \dfrac{81}{16}$
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2} = \dfrac{x^{-2}}{y^{-2}}$ $\left(\dfrac{1}{y}\right)^3 = \dfrac{1^3}{y^3} = \dfrac{1}{y^3}$ $\left(\dfrac{-2}{-3}\right)^2 = \dfrac{(-2)^2}{(-3)^2} = \dfrac{4}{9}$ |
#[The $n$th power of a quotient is the quotient of the $n$th powers.][La $n$ª potencia de un cociente es el cociente de las $n$ª potencias.]#
#[To see why this rule holds in the case of positive exponents, notice that][Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que]#
$\qquad (a-b)^n \neq a^n - b^n$ |