La ecuación cúbica $3x^3+5x^2-5x+1 = 0$ tiene $a = 3, b = 5, c = -5, d = 1,$
1. El único factor de $|d| = 1$ es $1$ y los factores de $|a| = 3$ son $1$ y $3$.
Tomando todas razones posibles $\pm\dfrac{\text{Factor de }|d|}{\text{Factor de }|a|}$ da
$x=\pm\dfrac{\text{Factor de }1}{\text{Factor de }3} = \pm\dfrac{1}{1}$ o $\pm\dfrac{1}{3}$
$x = 1:$ \t \gap[10] $3(1)^3+5(1)^2-5(1)+1 = 4 \neq 0 $ ✘
\\ $x = -1:$ \t \gap[10] $3(-1)^3+5(-1)^2-5(-1)+1 = 8 \neq 0 $ ✘
\\ $x = \frac{1}{3}:$ \t \gap[10] $3\left(\frac{1}{3}\right)^3+5\left(\frac{1}{3}\right)^2-5\left(\frac{1}{3}\right)+1 = 0 $ ✔
Por lo tanto, $x = \frac{1}{3}$ es una solución.
2. $\ \left(x-\frac{1}{3}\right)$ es por lo tanto un factor del lado izquierdo $3x^3+5x^2-5x+1.$
Para obtener otras soluciones (si las hay) primero factorizamos el lado izquierda utilizando la fórmula arriba:
$ax^3+bx^2+cx+d$ \t ${}= (x-r)(ax^2 \ + \ [ar+b]x \ + \ [ar^2+br+c])$
\\ $3x^3+5x^2-5x+1$ \t ${}= \left(x-\frac{1}{3}\right)\left(3x^2 \ + \ \left\[3\left(\frac{1}{3}\right)+5\right\]x \ + \ \left\[3\left(\frac{1}{3}\right)^2+5\left(\frac{1}{3}\right)-5\right\]\right)$
\\ \t ${}= \left(x-\frac{1}{3}\right)\left(3x^2 \ + \ [1+5]x \ + \ \left\[\frac{1}{3}+\frac{5}{3}-5\right\]\right)$
\\ \t ${}= \left(x-\frac{1}{3}\right)(3x^2 \ + \ 6x \ - \ 3)$
3. El segundo factor es
$3x^2 + 6x - 3 = 3(x^2+2x-1).$
Aunque $x^2+2x-1$ no factoriza sobre los enteros, tiene dos soluciones reales dadas por la fórmula cuadrática:
$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.$