Despejar a incógnitas en el exponente
Los logaritmos son muy átiles para resolver ecuaciones donde lo desconocido está en el exponente. Primero revisa el siguiente ejemplo y luego prueba los otros por tu cuenta:
#[Example][Ejemplo]#:
#[Solve for $x$:][Despeja a $x$:]# $\quad 5^{2x} = \dfrac{1}{125}$.
#[How to solve: Take the logarithm of both sides (always works).][Cómo resolver: Toma el logarítmo de ambos lados (siempre funciona).]#
\gap[20] \t $5^{2x} = \dfrac{1}{125}$
\\ \gap[20] \t $\log (5^{2x})=\log \left(\dfrac{1}{125}\right)$
\\ \gap[20] \t $2x\log 5 = -\log 125$
\\ \gap[20] \t $x=-\dfrac{\log 125}{2\log 5}$
En este caso, podemos usar nuevamente el álgebra de logaritmos para obtener la respuesta en forma más simple:
$x=-\dfrac{\log 125}{2\log 5}$ \t ${}= -\dfrac{\log (5^3)}{2\log 5}$
\\ \t ${}= -\dfrac{3\log 5}{2\log 5}$ \t \gap[40]
\\ \t ${}= -\dfrac{3}{2}$ \t \gap[40]